Dimostrazione per induzione

[michele_7483]

Gentili utenti del forum, vi chiedo aiuto con il seguente esercizio:

Dimostrare per induzione che \(\forall n \in \mathbb{N}\quad n^3 + 5n\) è multiplo di 6

Svolgimento:
1. Passo base
Per n = 0
\( n^3 + 5n = 0^3 + 5\cdot0=0 \) che è multiplo di 6

2. Passo induttivo
Dobbiamo dimostrare che:
\[ \forall n \in \mathbb{N} \quad n^3 + 5n = 6m \Longrightarrow (n+1)^3+5(n+1)=6p\]
con \(m\) e \(p\) interi qualsiasi

Poniamo il primo membro della tesi nella seguente forma:

\[n^3 + 3n^2 + 3n + 1 + 5n + 5 =\]
\[=(n^3 + 5n) + 6 + 3n^2 + 3n = \]
per ipotesi \(n^3 + 5n = 6m\) quindi:
\[= 6m + 6 + 3n^2 + 3n =\]
\[=6(m+1) + 3n^2 + 3n \]

A questo punto mi sono bloccato. Come proseguire?
Grazie

[hydro1]

Hint: Scrivi $n$ come $2k+\varepsilon$, dove $k$ è un intero nonnegativo e $\varepsilon\in \{0,1\}$.

[Quinzio]

Il passo base deve essere preso con $n=1$, siccome $\forall n, 0n = 0$.
Quindi prendiamo il passo base con $n=1$, $n^3+5n = 6$.

Per dimostrare il passo induttivo
$(n+1)^3+5(n+1) = n^3 + 3n^2 + 3n +1 +5n +5 = n^3 +5n + 3n^2 + 3n +6$

$n^3 +5n$ e' il passo precedente, quindi si puo scrivere
$n^3 +5n + 3n^2 + 3n +6 \equiv 3n^2 + 3n $ modulo $6$

Quindi
$n^2 + n = n(n+1) $ modulo $2$

che e' sempre vero siccome se $n$ e' pari $n+1$ e' dispari e viceversa.

[michele_7483]

"hydro":Hint: Scrivi $n$ come $2k+\varepsilon$, dove $k$ è un intero nonnegativo e $\varepsilon\in \{0,1\}$.

Grazie, ho completato la dimostrazione così:

Se n è pari cioè \(n = 2k\) con \(k\) intero non-negativo, allora:

\[6(m+1) + 3(2k)^2 + 3(2k) =\]
\[=6(m+1) + 3(4k^2) + 6k=\]
\[=6(m+1)+12k^2 +6k=\]
\[=6(m+1)+6(2k^2)+6k =\]
\[=6(m+1+2k^2+k)\]
che è multiplo di 6

Se invece n è dispari cioè \(n=2k+1\) con \(k\) intero non-negativo, allora:

\[6(m+1) + 3(2k+1)^2+3(2k+1)=\]
\[=6(m+1) +3(2k+1)[(2k+1)+1]=\]
\[=6(m+1)+3(2k+1)(2k+2)=\]
\[=6(m+1)+6(2k+1)(k+1)=\]
\[=6[m+1 +(2k+1)(k+1)]\]
che è multiplo di 6