Esercizio campo delle frazioni
Sia $R$ un PID.
Sia $F = {a/b | a,b \in R, b \ne 0}$ il campo delle frazioni.
Sia $S$ un sottoanello tale che $R \subseteq S \subseteq F$.
Provare che se $\alpha = \frac{a}{b} \in S$ allora $a, b \in R$ e $1/b \in S$.
Non riesco a provarlo in quanto ho pensato che essendo sottoanello so che è un anello e quindi contiene $1/1$ che è l'unità di $F$.
Inoltre se $\alpha = a/b = a/1 * 1/b \in S$.
Ma questo non implica che i fattori appartengano ad $S$... Vale il viceversa..
Sia $F = {a/b | a,b \in R, b \ne 0}$ il campo delle frazioni.
Sia $S$ un sottoanello tale che $R \subseteq S \subseteq F$.
Provare che se $\alpha = \frac{a}{b} \in S$ allora $a, b \in R$ e $1/b \in S$.
Non riesco a provarlo in quanto ho pensato che essendo sottoanello so che è un anello e quindi contiene $1/1$ che è l'unità di $F$.
Inoltre se $\alpha = a/b = a/1 * 1/b \in S$.
Ma questo non implica che i fattori appartengano ad $S$... Vale il viceversa..
Risposte
"Desirio":
Sia $R$ un PID.
Sia $F = {a/b | a,b \in R, b \ne 0}$ il campo delle frazioni.
Sia $S$ un sottoanello tale che $R \subseteq S \subseteq F$.
Provare che se $\alpha = \frac{a}{b} \in S$ allora $a, b \in R$ e $1/b \in S$.
Questo è falso: ad esempio se \(R=S=\mathbb Z\), allora \(\frac{4}{2}\in S\) ma \(\frac{1}{2}\notin S\).
"hydro":
[quote="Desirio"]Sia $R$ un PID.
Sia $F = {a/b | a,b \in R, b \ne 0}$ il campo delle frazioni.
Sia $S$ un sottoanello tale che $R \subseteq S \subseteq F$.
Provare che se $\alpha = \frac{a}{b} \in S$ allora $a, b \in R$ e $1/b \in S$.
Questo è falso: ad esempio se \(R=S=\mathbb Z\), allora \(\frac{4}{2}\in S\) ma \(\frac{1}{2}\notin S\).[/quote]
Si lo so che è falso... Quindi come dovrei ragionare?
Probabilmente hai dimenticato di scrivere che $a,b$ li prendi coprimi.
"Martino":
Probabilmente hai dimenticato di scrivere che $a,b$ li prendi coprimi.
Martino si, infatti ogni elemento $\alpha \in S$ posso scriverlo come $a/b$ con $MCD(a,b) = 1$.. Ma questo a dove ci porta?
Ma non c'entra, quando scrivi $a/b$ devi specificare se $a,b$ li prendi coprimi o no, perché questo fa tutta la differenza. Li prendi coprimi oppure no? Cosa c'è scritto nel testo dell'esercizio?
"Martino":
Ma non c'entra, quando scrivi $a/b$ devi specificare se $a,b$ li prendi coprimi o no, perché questo fa tutta la differenza. Li prendi coprimi oppure no? Cosa c'è scritto nel testo dell'esercizio?
No, non c'è scritto che sono coprimi ...
Ma nel caso lo fossero cosa cambierebbe?
"Martino":
Ma non c'entra, quando scrivi $a/b$ devi specificare se $a,b$ li prendi coprimi o no, perché questo fa tutta la differenza. Li prendi coprimi oppure no? Cosa c'è scritto nel testo dell'esercizio?
Comunque ci sto ragionando su e stavo pensando a questo...
Se sono coprimi allora $1_{R} = MCD(a,b)$ e quindi esistono $x, y \in R$ tali che $1_{R} = ax + by$ da cui $1/b = \alpha x + y$ e quindi $1/b \in S$ in quanto somma di elementi che appartengono a $S$ che è un sottoanello e comunque chiuso rispetto alla somma... Può andare?
Sì esatto.
"Martino":
Sì esatto.
Grazie.. Sempre per lo stesso esercizio mi chiede di mostrare che S è un PID. In particolare mi suggerisce di prendere in considerazione $I \cap R$ dove $I$ è un ideale di S....
So che $R$ non è ideale di S... L'intersezione quindi a cosa mi potrebbe servire? ...
"Desirio":
[quote="Martino"]Sì esatto.
Grazie.. Sempre per lo stesso esercizio mi chiede di mostrare che S è un PID. In particolare mi suggerisce di prendere in considerazione $I \cap R$ dove $I$ è un ideale di S....
So che $R$ non è ideale di S... L'intersezione quindi a cosa mi potrebbe servire? ...[/quote]
Non so se è corretto dire che se $I \cap R = \emptyset$ allora supponendo $I \neq \emptyset$ esiste $a/b \in I$ e quindi per la proprietà assorbente degli ideali anche $a/b * b \in I$ ma questo elemento è per l'appunto $a$. Quindi $a \in I$ e $a \in R$: quindi $I \cap R \ne \emptyset$.
...
Penso di aver risolto... cioè se $ a/b \in I$ allora $(a) \subseteq I$ e se non vale l uguaglianza allora esiste in I un altro elemento $c/d$ che non appartiene all ideale $(a)$. Allora $MCD(a,c)=1$ e quindi $1=ax + cy, x, y \in R$ da cui $1/b = a/b x + c /b y$ e siccome $a/b x $ e $ c/b y$ sono elementi dell ideale, anche $1/b$ lo è .... quindi $1 \in I$ e quindi siccome S è sottoanello e contiene $1/1$ segue che l ideale è tutto S e quindi principale. Quindi tutti gli ideali sono principali. Puo andare?
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