Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta
Discussioni su Algebra astratta, Logica Matematica, Teoria dei Numeri, Matematica Discreta, Teoria dei Codici, Algebra degli insiemi finiti, Crittografia.
Domande e risposte
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Ciao a tutt.
Ho provato a svolgere un'applicazione del teorema che dice che se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottogruppo normale e se $x\in G\setminus H$, allora $|C_{G}(x)|=|C_{G/H}(xH)|$.
Ho provato ad applicarlo con $G=S_{4}$, $H=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$ e $x=(1,2,3,4)$.
Svolgendo i calcoli, ottengo che
$C_{G}(x)=\{g\in G: gx=xg\}=\{1,(1,2,3,4),(1,4,3,2),(1,3)(2,4)\}$ e
$C_{G/H}(xH)=\{gH\in G/H: gHxH=xHgH\}=\{gH\in G/H: [g,x]\in H\}=\{H,(1,3)H\}$ e naturalmente i due ordini non coincidono.
Dov'è che sbaglio?
Ci sto provando da un giorno e mezzo e non riesco a capire ...
Ciao,
ho delle difficoltà molto serie nell'impostare il seguente esercizio....
Sia R un dato anello.
a) Provare che nell’anello Mn(R) il sottoinsieme delle matrici triangolari superiori e
quello delle matrici triangolari inferiori sono sottoanelli. Essi si indicano rispettivamente
con UTn(R) e LTn(R).
b) Provare che il sottoinsieme S di Mn(R) delle matrici diagonali `e anch’esso un
sottoanello, come pure lo `e il sottoinsieme delle matrici scalari.
Non so da dove partire...
Grazie in anticipo.
Sto lavorando sulla dimostrazione del teorema di Wedderburn sull'Herstein e ho trovato questo problema che non riesco a risolvere:
" Dimostrare che se $t>1$ è un intero e $(t^{m}-1)$ divide $ ( t^{n}-1) $, allora $m$ divide $n$"
Qualcuno mi può aiutare?
Ho qualche perplessità su questa funzione composta: $b@a$.
Sia $S$ l'insieme dei numeri interi, $T$ l'insieme $SxS$, e sia $a:S->T$ definita da $ma=(m-1,1)$.
Sia $U=S$, e sia $b:T->U(=S)$ definita da $(m,n)b=m+n$
In base a quanto detto $((m,n)b)a=(m+n-1,1)$.
Fin qui ci dovremmo essere..ma quando provo a fare un esempio concreto, tipo:
dalla coppia $(2,-1)$ operando la funzione ...
Se $S={ x_1,x_2,x_3}$ un insieme di tre elementi, $A(S)$ è l'insieme delle corrispondenze biunivoche di $S$ su se stesso.
Come si fa a trovare la cardinalità di $A(S)$?
Esiste poi un elemento $t$ (applicazione identica) in $A$ a^-1 in A(A) $(S)$ tale che $a@t=t@a=a$
Esiste un elemento $a^-1 in A(S)$ tale che $a@a^-1=a^-1@a=t$
Mi servirebbe un esempio per capire.
Forse è una cosa banale... ma non riesco a trovare una risposta:
In $\mathbb{Q}$ non è definibile una funzione esponenziale $E:\mathbb{Q }\rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $E(x+y)=E(x)E(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{Q}$ perché se poniamo $E(1)=a \in \mathbb{Q}$ allora, per qualunque $n \in \mathbb{N}^+$, dovremmo avere $E(1/n)=q \in \mathbb{Q}$ con $q^n=a$ e sappiamo che questo non è vero in generale in $\mathbb{Q}$.
Ma quale è la minima estensione $\mathbb{E}$ / $\mathbb{Q}$ in cui è definibile una funzione ...
Ciao a tutti,
scrivo perchè non riesco a capire come sia fatto il seguente insieme.
Sia $G$ un gruppo e $N$ un sottogruppo normale di $G$. Definiamo
$Irr(G|N)=\{\chi\in Irr(G): N \mbox{ non è contenuto in } Ker(\chi)\}$. Sia $\vartheta\in Irr(N)$ tale che $\vartheta\ne1_{N}$.
Cosa indica l'insieme $Irr(G|\vartheta)$? So che $Irr(G|N)=\cup_{1\ne\vartheta\in Irr(N)}Irr(G|\vartheta)$,
ma non riesco a capire come sia fatto $Irr(G|\vartheta)$.
Grazie a tutti per l'aiuto...
Buonasera, ho un esercizio che mi chiede di determinare le classi di equivalenza e gli elementi da cui sono composte con $X = {a, b, c, d}$ e la relazione di equivalenza in P(X) tale che ARB se |A|=|B|
Io ho risolto così:
1) ${{a},{b},{c},{d}}$
2) ${{a,b},{c,d}}$
3) ${{a,c},{b,d}}$
4) ${{a,d},{b,c}}$
5) ${a,b,c,d}$
è giusto?
Inoltre mi chiede di verificare se determinano una partizione di P(X), cioè lo vedo, ma non so come scrivere per spiegarlo nell'esercizio
salve ragazzi ho qualche problema con i gruppi, in particolare con gli omomorfismi...
sto avendo alcune difficoltà a risolvere il seguente esercizio :
Dimostrare che la seguente applicazione è un omomorfismo ben definito :
Z10 ----> Z5
x (mod 10) → x (mod 5)
vorrei dirvi come ho fatto io , ma il problema è proprio questo.. non so da dove partire, non so come verificare se è un omomorfismo e non so verificare se è ben definito, penso che mi dia molto fastidio la presenza di questo "mod", ...
Ho il gruppo $ G=D_3xxZ_3 $
Devo mostrare che $ D_3 $ è caratteristico in $ G $.
(Sappiamo che $ Z_3 $ lo è in quanto isomorfo a $ Z(G) $.)
E poi vorrei sapere se è possibile generalizzare la cosa, quindi preso un qualsiasi gruppo $ G $ tale che $ G=HxxK $, con $ H $ caratteristico in $ G $, allora $ K $ è caratteristico in $ G $.
Salve, mi sapreste spiegare cosa sono i co-divisori sinistro e destro di una matrice?
Mi potreste fare degli esempi e come ricavarli ?
Grazie
Prendiamo due anelli $A,B$ e consideriamo le due categorie $ \mathcal{M}_A$ e $ \mathcal{M}_B$ rispettivamente degli $A$-moduli sinistri e dei $B$-moduli sinistri.
Sia $F : \mathcal{M}_A \to \mathcal{M}_B$ un funtore.
Esistono due definizioni (speriamo equivalenti) di funtore esatto.
Prima definizione:
$F$ si dice esatto se manda successioni esatte corte in successioni esatte corte, ovvero data
$ 0 \to M \to N \to P \to 0$ successioni esatta in ...
E' vero che:
Per un quaternione immaginario puro $z=bi+cj+dk$
si ha:
$<br />
e^z=e^{bi+cj+dk}=e^{bi}e^{cj}e^{dk}<br />
$
se e solo se
$k=b/\pi$, $h=c/\pi$, $l=d/\pi$ e $n=|z|/\pi$ sono interi che formano una quaterna pitagorica con $n^2=k^2+h^2+l^2$ ?
A me sembra che sia possibile dimostrarlo utilizzando la rappresentazione dei quaternioni con matrici $2\times 2$ a entrate complesse e usando i risultati sull'esponenziale di matrici qui. Ma non c'è un altro modo?
Vorrei dimostrare che in $Z_n$ le classi di congruenza sono a due a due distinte....
siano $i, j in { 0, 1, ...n-1}$ tali che $[i ]_n, [ j]_n$ . Poiché $i=n*0+i$ e $0<=i<=n$, $i$ è il resto della divisione di $i$ per $n$.
Ma noi sappiamo che nella divisione euclidea $a=nq+r$ e quindi $n$ divide $a-r$ per cui se
$i=nq+j$, per ipotesi, allora $n$ divide ...
Buongiorno, apro questo post per appunto postare tutte le domande che mi vengono sul testo di Lang, Undergraduate algebra e così per raccogliere anche le domande di chi altro avesse dubbi riguardo a questo testo.
Veniamo alla domanda.
1) Nel primo capitolo, paragrafo 2 si dimostra il principio di induzione, I forma.
NB n-->numero intero positivo
Nello specifico a un certo punto nella dimostrazione si dice che:
Poniamo che A(n), tale che:
•A(1) sia vero
•A(n+1) sia vero
Quindi A è vera per ...
Ciao,
sto cercando di dimostrare l'irrazionalità della radice di 3.
Sono rimasto bloccato in un passaggio: dimostrare che se 3 è un divisore di a², allora è anche un divisore di a.
Nel titolo ho generalizzato, perchè vorrei poi essere in grado di dimostrare con lo stesso metodo l'irrazionalità della radice di altri interi.
Potreste scrivere una dimostrazione, anche in lingua italiana, oppure darmi un suggerimento?
Grazie.
Nella Teoria delle Categorie, cosa significa un'affermazione come questa: Nella categoria di funtori \( \textbf{Grp}^{M} \) ($M$ monoide) gli oggetti sono un gruppo con operatori $M$? Io ho pensato che il funtore per la parte della funzione sugli oggetti, applicata all'oggetto di $M$, darà sicuramente un gruppo, ma quello che non riesco a capire è il significato dell'espressione "con operatori $M$".
Un esercizio di un tema d esame mi chiede enuncia è dimostra la formula delle orbite
Io lo farei così
Enunciato: sia (G,.) un gruppo finito e (X,*) un G insieme finito. {X1,...,Xr} partizione di Xin G.orbite e {x1,...,xr} un sistema di rappresentanti per le Gorbite Xi. Allora |X|=sommatoria |G*x|= sommatoria di |G:Gxi| Cioè indice dello stabilizzante
Dim: X è l unione disgiunta per i da 1 a r delle Gorbite Xi quindi |X|= sommatoria di |Xi| Che è uguale alla sommatoria di |G:Gxi| e per il ...
Ciao a tutti ragazzi, non riesco a svolgere questo esercizio:
"Nell'anello $ZZ_2[x]$ si consideri l'ideale $ I = (x^4 + x^2 + 1) $. Dire se $ I $ è un ideale primo e provare che è contenuto in un unico ideale massimale."
il polinomio $ x^4 + x^2 + 1 $ è irriducibile in $ZZ_2[x]$ perciò $ I $ dovrebbe essere un ideale primo.. ma come calcolo l'unico ideale massimale che lo contiene? E poi.. se $I$ è irriducibile in $ZZ_2[x]$ che è un ...
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