Algebra, logica, teoria dei numeri e matematica discreta

Come dimostrereste che un sottogruppo di un gruppo ciclico è a sua volta ciclico?

Sia $G=S_3$, il gruppo delle corrispondenze biunivoche dell'insieme ${ x_1,x_2,x_3}$ su se stesso. Ebbene $G$ è un gruppo di ordine $6$ Infatti se applico direttamente la formula ottengo $3! =6$ Adesso, io intendo così la cosa: se è di ordine $6$ devo trovare $6$ funzioni biunivoche. Provo a mappare quelle che sono riuscito a trovare: $a$: ...

Sto studiando la dimostrazione di un teorema in ambito di crittografia RSA, ma la domanda si riconduce ad un dubbio (probabilmente banale) di aritmetica modulare. Non riesco a comprendere pienamente la seguente identità. $[(M) (M^(\phi(t)))^(k(q-1))] mod p = (M mod p) [(M^(\phi(t))) mod p]^(k(q-1))$ L'unica proprietà che potrebbe essere stata sfruttata è: $[(a mod n) (b mod n)] mod n = (ab) mod n$ ma allora, non dovrebbe essere $(M mod p) [(M^(\phi(t))) mod p]^(k(q-1)) mod p$ ? PS.: L' "estendere" l'esponente $(k(q-1))$ al modulo è un'altra proprietà?

Ciao a tutti! Avrei delle domande riguardo questi esercizi : 1)Determinare la cardinalità di questo insieme : $ N^((N)) = { f:Nrarr N| $ f applicazione quasi ovunque nulla $ } $ 2)Dimostrare che $ Card(Q^(Z))=Card(Q^(P)xx Q^D) $ dove $ P $ è l'insieme dei numeri relativi pari e $ D $ dei dispari. 3) Stabilire se $ D27 = {1,3,9,27} $ (divisori di 27) con queste operazioni $ d1vv d2=mcm(d1,d2) $ , $ d1^^ d2=MCD(d1,d2) $ , $ dprime = 27/d $ è un'algebra booleana. Nell'esercizio 1) ho ...

Ciao a tutt. Ho provato a svolgere un'applicazione del teorema che dice che se $G$ è un gruppo e $H$ un suo sottogruppo normale e se $x\in G\setminus H$, allora $|C_{G}(x)|=|C_{G/H}(xH)|$. Ho provato ad applicarlo con $G=S_{4}$, $H=\{1,(1,2)(3,4),(1,3)(2,4),(1,4)(2,3)\}$ e $x=(1,2,3,4)$. Svolgendo i calcoli, ottengo che $C_{G}(x)=\{g\in G: gx=xg\}=\{1,(1,2,3,4),(1,4,3,2),(1,3)(2,4)\}$ e $C_{G/H}(xH)=\{gH\in G/H: gHxH=xHgH\}=\{gH\in G/H: [g,x]\in H\}=\{H,(1,3)H\}$ e naturalmente i due ordini non coincidono. Dov'è che sbaglio? Ci sto provando da un giorno e mezzo e non riesco a capire ...

Ciao, ho delle difficoltà molto serie nell'impostare il seguente esercizio.... Sia R un dato anello. a) Provare che nell’anello Mn(R) il sottoinsieme delle matrici triangolari superiori e quello delle matrici triangolari inferiori sono sottoanelli. Essi si indicano rispettivamente con UTn(R) e LTn(R). b) Provare che il sottoinsieme S di Mn(R) delle matrici diagonali `e anch’esso un sottoanello, come pure lo `e il sottoinsieme delle matrici scalari. Non so da dove partire... Grazie in anticipo.

Sto lavorando sulla dimostrazione del teorema di Wedderburn sull'Herstein e ho trovato questo problema che non riesco a risolvere: " Dimostrare che se $t>1$ è un intero e $(t^{m}-1)$ divide $ ( t^{n}-1) $, allora $m$ divide $n$" Qualcuno mi può aiutare?

Ho qualche perplessità su questa funzione composta: $b@a$. Sia $S$ l'insieme dei numeri interi, $T$ l'insieme $SxS$, e sia $a:S->T$ definita da $ma=(m-1,1)$. Sia $U=S$, e sia $b:T->U(=S)$ definita da $(m,n)b=m+n$ In base a quanto detto $((m,n)b)a=(m+n-1,1)$. Fin qui ci dovremmo essere..ma quando provo a fare un esempio concreto, tipo: dalla coppia $(2,-1)$ operando la funzione ...

Se $S={ x_1,x_2,x_3}$ un insieme di tre elementi, $A(S)$ è l'insieme delle corrispondenze biunivoche di $S$ su se stesso. Come si fa a trovare la cardinalità di $A(S)$? Esiste poi un elemento $t$ (applicazione identica) in $A$ a^-1 in A(A) $(S)$ tale che $a@t=t@a=a$ Esiste un elemento $a^-1 in A(S)$ tale che $a@a^-1=a^-1@a=t$ Mi servirebbe un esempio per capire.

Forse è una cosa banale... ma non riesco a trovare una risposta: In $\mathbb{Q}$ non è definibile una funzione esponenziale $E:\mathbb{Q }\rightarrow \mathbb{Q}$ tale che $E(x+y)=E(x)E(y) \quad \forall x,y \in \mathbb{Q}$ perché se poniamo $E(1)=a \in \mathbb{Q}$ allora, per qualunque $n \in \mathbb{N}^+$, dovremmo avere $E(1/n)=q \in \mathbb{Q}$ con $q^n=a$ e sappiamo che questo non è vero in generale in $\mathbb{Q}$. Ma quale è la minima estensione $\mathbb{E}$ / $\mathbb{Q}$ in cui è definibile una funzione ...

Ciao a tutti, scrivo perchè non riesco a capire come sia fatto il seguente insieme. Sia $G$ un gruppo e $N$ un sottogruppo normale di $G$. Definiamo $Irr(G|N)=\{\chi\in Irr(G): N \mbox{ non è contenuto in } Ker(\chi)\}$. Sia $\vartheta\in Irr(N)$ tale che $\vartheta\ne1_{N}$. Cosa indica l'insieme $Irr(G|\vartheta)$? So che $Irr(G|N)=\cup_{1\ne\vartheta\in Irr(N)}Irr(G|\vartheta)$, ma non riesco a capire come sia fatto $Irr(G|\vartheta)$. Grazie a tutti per l'aiuto...

Buonasera, ho un esercizio che mi chiede di determinare le classi di equivalenza e gli elementi da cui sono composte con $X = {a, b, c, d}$ e la relazione di equivalenza in P(X) tale che ARB se |A|=|B| Io ho risolto così: 1) ${{a},{b},{c},{d}}$ 2) ${{a,b},{c,d}}$ 3) ${{a,c},{b,d}}$ 4) ${{a,d},{b,c}}$ 5) ${a,b,c,d}$ è giusto? Inoltre mi chiede di verificare se determinano una partizione di P(X), cioè lo vedo, ma non so come scrivere per spiegarlo nell'esercizio

salve ragazzi ho qualche problema con i gruppi, in particolare con gli omomorfismi... sto avendo alcune difficoltà a risolvere il seguente esercizio : Dimostrare che la seguente applicazione è un omomorfismo ben definito : Z10 ----> Z5 x (mod 10) → x (mod 5) vorrei dirvi come ho fatto io , ma il problema è proprio questo.. non so da dove partire, non so come verificare se è un omomorfismo e non so verificare se è ben definito, penso che mi dia molto fastidio la presenza di questo "mod", ...

Che cos'è un numero immaginario ? A cosa serve ?

Ho il gruppo $ G=D_3xxZ_3 $ Devo mostrare che $ D_3 $ è caratteristico in $ G $. (Sappiamo che $ Z_3 $ lo è in quanto isomorfo a $ Z(G) $.) E poi vorrei sapere se è possibile generalizzare la cosa, quindi preso un qualsiasi gruppo $ G $ tale che $ G=HxxK $, con $ H $ caratteristico in $ G $, allora $ K $ è caratteristico in $ G $.

Salve, mi sapreste spiegare cosa sono i co-divisori sinistro e destro di una matrice? Mi potreste fare degli esempi e come ricavarli ? Grazie

Prendiamo due anelli $A,B$ e consideriamo le due categorie $ \mathcal{M}_A$ e $ \mathcal{M}_B$ rispettivamente degli $A$-moduli sinistri e dei $B$-moduli sinistri. Sia $F : \mathcal{M}_A \to \mathcal{M}_B$ un funtore. Esistono due definizioni (speriamo equivalenti) di funtore esatto. Prima definizione: $F$ si dice esatto se manda successioni esatte corte in successioni esatte corte, ovvero data $ 0 \to M \to N \to P \to 0$ successioni esatta in ...

E' vero che: Per un quaternione immaginario puro $z=bi+cj+dk$ si ha: $<br /> e^z=e^{bi+cj+dk}=e^{bi}e^{cj}e^{dk}<br /> $ se e solo se $k=b/\pi$, $h=c/\pi$, $l=d/\pi$ e $n=|z|/\pi$ sono interi che formano una quaterna pitagorica con $n^2=k^2+h^2+l^2$ ? A me sembra che sia possibile dimostrarlo utilizzando la rappresentazione dei quaternioni con matrici $2\times 2$ a entrate complesse e usando i risultati sull'esponenziale di matrici qui. Ma non c'è un altro modo?

Vorrei dimostrare che in $Z_n$ le classi di congruenza sono a due a due distinte.... siano $i, j in { 0, 1, ...n-1}$ tali che $[i ]_n, [ j]_n$ . Poiché $i=n*0+i$ e $0<=i<=n$, $i$ è il resto della divisione di $i$ per $n$. Ma noi sappiamo che nella divisione euclidea $a=nq+r$ e quindi $n$ divide $a-r$ per cui se $i=nq+j$, per ipotesi, allora $n$ divide ...

Buongiorno, apro questo post per appunto postare tutte le domande che mi vengono sul testo di Lang, Undergraduate algebra e così per raccogliere anche le domande di chi altro avesse dubbi riguardo a questo testo. Veniamo alla domanda. 1) Nel primo capitolo, paragrafo 2 si dimostra il principio di induzione, I forma. NB n-->numero intero positivo Nello specifico a un certo punto nella dimostrazione si dice che: Poniamo che A(n), tale che: •A(1) sia vero •A(n+1) sia vero Quindi A è vera per ...