Analizzare una struttura algebrica
Analizzare una struttura algebrica:
Sia $n$ un intero. Costruiamo un gruppo di ordine $4$ in questo modo:
$G$ è costituito dai simboli $a^i$, $i=0,1,2,n-1=3$ dove $a^i*a^j=a^(i+j)$ se $i+j<=n=4$ e
$a^i*a^j=a^(i+j-n)$ se $i+j>n$
Per verificare che si tratta di un gruppo ho pensato di utilizzare la tabella delle composizioni:
Da qui ho dedotto:
l'operazione $°$ è ovunque definita;
l'operazione $°$ è associativa: $(a^1°a^2)°a^3=a^1°(a^2°a^3)=a^2$;
$a^0=e$ elemento neutro;
esistenza degli inversi:
$a^0°a^0=a^0$ cioè, $a^0$ è l'inverso di se stesso;
$a^1°a^3=a^0$ cioè, $a^1$ e $a^3$ sono uno l'inverso dell'altro;
$a^2°a^2=a^0$ cioè, $a^2$ è l'inverso di se stesso;
Infine: l'operazione $°$ risulta simmetrica rispetto alla diagonale, per cui è anche commutativa.
Questo dunque è un esempio di gruppo abeliano....vi chiedo se va bene il ragionamento!
Come faccio invece a dedurre che è ciclico?
Sia $n$ un intero. Costruiamo un gruppo di ordine $4$ in questo modo:
$G$ è costituito dai simboli $a^i$, $i=0,1,2,n-1=3$ dove $a^i*a^j=a^(i+j)$ se $i+j<=n=4$ e
$a^i*a^j=a^(i+j-n)$ se $i+j>n$
Per verificare che si tratta di un gruppo ho pensato di utilizzare la tabella delle composizioni:
Da qui ho dedotto:
l'operazione $°$ è ovunque definita;
l'operazione $°$ è associativa: $(a^1°a^2)°a^3=a^1°(a^2°a^3)=a^2$;
$a^0=e$ elemento neutro;
esistenza degli inversi:
$a^0°a^0=a^0$ cioè, $a^0$ è l'inverso di se stesso;
$a^1°a^3=a^0$ cioè, $a^1$ e $a^3$ sono uno l'inverso dell'altro;
$a^2°a^2=a^0$ cioè, $a^2$ è l'inverso di se stesso;
Infine: l'operazione $°$ risulta simmetrica rispetto alla diagonale, per cui è anche commutativa.
Questo dunque è un esempio di gruppo abeliano....vi chiedo se va bene il ragionamento!
Come faccio invece a dedurre che è ciclico?
Risposte
"milos144":Pensaci un pò... Poi proseguiremo!
...l'operazione \(\displaystyle\circ\) è [strike]ovunque[/strike] definita (su \(\displaystyle G\))...
Non capisco bene!......ma intendevi che dovevo precisare forse l'operazione di moltiplicazione denotata con $°$ è......
No, hai dimostrato che \(\displaystyle\circ\) è un'operazione, nulla da ridire; ma quella frase era sbagliata e te l'ho corretta: c'era una parola di troppo, capisci il perché?
Sinceramente mi sfugge il perché è scorretto in questo caso usare la parola ovunque! Fammi capire il perché?
grazie per la collaborazione
grazie per la collaborazione
Più che sbagliata è inutile. Una funzione definita su un insieme o una struttura algebrica ha come dominio l'insieme stesso. Nella matematica moderna è così. L'analisi, nei primi corsi, fa eccezione perché vogliono insegnare a trovare il dominio. Ma in genere quando parli di funzione da qualcosa in qualcos'altro il dominio è tutto il primo insieme e il codominio è un sottoinsieme del secondo.
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