Il gruppo delle corrispondenze biunivoche

[milos144]

Sia $G=S_3$, il gruppo delle corrispondenze biunivoche dell'insieme ${ x_1,x_2,x_3}$ su se stesso. Ebbene $G$ è un gruppo di ordine $6$ Infatti se applico direttamente la formula ottengo

$3! =6$

Adesso, io intendo così la cosa: se è di ordine $6$ devo trovare $6$ funzioni biunivoche.
Provo a mappare quelle che sono riuscito a trovare:

$a$:
$x_1->x_1$
$x_2->x_2$
$x_3->x_3$

$b$:
$x_1->x_2$
$x_2->x_3$
$x_3->x_1$

$c$:
$x_1->x_3$
$x_2->x_3$
$x_3->x_1$

Le altre come le trovo....ho qualche dubbio sul metodo da seguire!

[Trilogy]

Hai scritto male l'ultima.
Comunque, vai in ordine di "difficoltà". Come hai fatto, comincia con l'identità, cioè la tua $a$. Poi passa alle funzioni che scambiano solo due elementi (e credo che un nome per queste funzioni sia "scambi"), ce ne sono tre. Infine avanzano i due tricicli, che non hanno punti fissi, cioè per cui non esiste $x$ tale che $f(x)=x$, ad esempio la tua $b$.

[Epimenide93]

"Trilogy":funzioni che scambiano solo due elementi (e credo che un nome per queste funzioni sia "scambi")

Meglio "permutazioni".

@milos144 concordo con Trilogy, tieni conto che una corrispondenza biunivoca può anche tener fisso un elemento.

[milos144]

Gli elementi dovrebbero essere questi:

$ a $: rappresenta l'identità
$ x_1->x_1 $
$ x_2->x_2 $
$ x_3->x_3 $

$ b $:
$ x_1->x_2 $
$ x_2->x_3 $
$ x_3->x_1 $

$ c $: $c$ è l'elemento inverso di $B$
$ x_1->x_3 $
$ x_2->x_1 $
$ x_3->x_2 $

$ d$: è l'inverso di se stesso
$ x_1->x_1 $
$ x_2->x_3 $
$ x_3->x_2 $

$ e $: è l'inverso di se stesso
$ x_1->x_3 $
$ x_2->x_2 $
$ x_3->x_1 $

$ f$: è l'inverso di se stesso
$ x_1->x_2 $
$ x_2->x_1 $
$ x_3->x_3 $

[Trilogy]

Perfetto. Dei miei professori algebristi, tre hanno usato la scrittura che ora ti dico:
Prendiamo una funzione che altera solo due elementi, ad esempio $d$: puoi indicarla scrivendo $(x_2,x_3)$. Prendiamone invece una che altera tre elementi, ad esempio $b$: scrivi $(x_1,x_2,x_3)$.

In generale, ogni entrata della n-upla che scrivi va nell'entrata successiva, tranne l'ultima, che va nella prima. Magari all'inizio fa un po' schifo, ma è una notazione abbastanza comoda.

[milos144]

intanto grazie per i suggerimenti.
Mi è venuto un dubbio: in base alla definizione di $A(S) $se $a,b,c,d,e,f in A(S)$ anche le funzioni composte

da 2 funzioni, da 3 funzioni , da 4 funzioni e, da 5 funzioni e infine da 6, come nel nostro caso, appartengono ad $A(S)$.

Mi chiedo quante sono quelle da 2, da 3, da 4....e come si può procedere per trovarle!