Definizioni di funtore esatto
Prendiamo due anelli $A,B$ e consideriamo le due categorie $ \mathcal{M}_A$ e $ \mathcal{M}_B$ rispettivamente degli $A$-moduli sinistri e dei $B$-moduli sinistri.
Sia $F : \mathcal{M}_A \to \mathcal{M}_B$ un funtore.
Esistono due definizioni (speriamo equivalenti) di funtore esatto.
Prima definizione:
$F$ si dice esatto se manda successioni esatte corte in successioni esatte corte, ovvero data
$ 0 \to M \to N \to P \to 0$ successioni esatta in $\mathcal{M}_A$ allora
$ 0 \to F(M) \to F(N) \to F(P) \to 0$ è una successioni esatta in $\mathcal{M}_B$.
Seconda definizione:
$F$ si dice esatto se manda qualunque successione esatta in una successione esatta, ovvero data
$ M \to N \to P$ successione esatta in $ \mathcal{M}_A$ allora
$ F(M) \to F(N) \to F(P)$ è una successione esatta in $ \mathcal{M}_B$.
Vorrei mostrare l'equivalenza di queste due definizioni. Che un funtore esatto secondo la seconda definizione è esatto secondo la prima è un fatto banale.
Dimostrazione: Sia $0 \to M \to N \to P \to 0$ successioni esatta in $\mathcal{M}_A$. Prendiamo $ 0 \to F(M) \to F(N) \to F(P) \to 0$. $F$ mi manda qualunque "mini"successione esatta di $3$ moduli in una successione esatta, quindi in particolare mi preserva l'esattezza delle sottosuccessioni di $3$ moduli, e quindi mi garantisce che $0 \to F(M) \to F(N) \to F(P) \to 0$ è esatta.
Il viceversa dovrebbe essere altrettanto facile, invece non mi riesce. Prendo $M \to N \to P$ successione esatta (chiamiamo $f$ il primo omomorfismo e $g$ il secondo). Questo mi dice solo che $ker (g) = Im (f)$. $F$ mi preserva le successioni esatte corte, quindi devo costruirmi da $M \to N \to P$ una successione esatta corta per cui, passando attraverso $F$, ottengo una successione esatta che mi garantisce l'esattezza in $F(N)$ di $F(M) \to F(N) \to F(P)$. La mia idea era fare una cosa del genere:
\[ 0 \to ker( f) \to M \to N \to P \to coker (g) \to 0 .\]
Ma questa successione però è troppo lunga per applicare la prima definizione.
Un'altra idea era fare brutalmente
\[ 0 \to M / ker(f) \to N \to Im(g) \to 0 \]
però ho l'impressione che facendo così, formalmente i morfismi cambiano e quindi $F(f)$ e $F(g)$ per questa successione non sono gli stessi della successione originale.
Consigli? Idee?
Sia $F : \mathcal{M}_A \to \mathcal{M}_B$ un funtore.
Esistono due definizioni (speriamo equivalenti) di funtore esatto.
Prima definizione:
$F$ si dice esatto se manda successioni esatte corte in successioni esatte corte, ovvero data
$ 0 \to M \to N \to P \to 0$ successioni esatta in $\mathcal{M}_A$ allora
$ 0 \to F(M) \to F(N) \to F(P) \to 0$ è una successioni esatta in $\mathcal{M}_B$.
Seconda definizione:
$F$ si dice esatto se manda qualunque successione esatta in una successione esatta, ovvero data
$ M \to N \to P$ successione esatta in $ \mathcal{M}_A$ allora
$ F(M) \to F(N) \to F(P)$ è una successione esatta in $ \mathcal{M}_B$.
Vorrei mostrare l'equivalenza di queste due definizioni. Che un funtore esatto secondo la seconda definizione è esatto secondo la prima è un fatto banale.
Dimostrazione: Sia $0 \to M \to N \to P \to 0$ successioni esatta in $\mathcal{M}_A$. Prendiamo $ 0 \to F(M) \to F(N) \to F(P) \to 0$. $F$ mi manda qualunque "mini"successione esatta di $3$ moduli in una successione esatta, quindi in particolare mi preserva l'esattezza delle sottosuccessioni di $3$ moduli, e quindi mi garantisce che $0 \to F(M) \to F(N) \to F(P) \to 0$ è esatta.
Il viceversa dovrebbe essere altrettanto facile, invece non mi riesce. Prendo $M \to N \to P$ successione esatta (chiamiamo $f$ il primo omomorfismo e $g$ il secondo). Questo mi dice solo che $ker (g) = Im (f)$. $F$ mi preserva le successioni esatte corte, quindi devo costruirmi da $M \to N \to P$ una successione esatta corta per cui, passando attraverso $F$, ottengo una successione esatta che mi garantisce l'esattezza in $F(N)$ di $F(M) \to F(N) \to F(P)$. La mia idea era fare una cosa del genere:
\[ 0 \to ker( f) \to M \to N \to P \to coker (g) \to 0 .\]
Ma questa successione però è troppo lunga per applicare la prima definizione.
Un'altra idea era fare brutalmente
\[ 0 \to M / ker(f) \to N \to Im(g) \to 0 \]
però ho l'impressione che facendo così, formalmente i morfismi cambiano e quindi $F(f)$ e $F(g)$ per questa successione non sono gli stessi della successione originale.
Consigli? Idee?
Risposte
Dopo una prima impressione sbagliata e una piccola sbirciatina ai manuali sono arrivato alla conclusione. Tu stai cercando di trasformare quella intera successione esatta in una successione esatta corta ma in realtà tu devi solo dimostrare che \(F\bigl(\ker f\bigr)\cong F\bigl(Im\, f\bigr)\) ma per questo ti basta usare la successione esatta corta
\[ 0 \rightarrow \ker g \rightarrow M \rightarrow \ker f \rightarrow 0\]
\[ 0 \rightarrow \ker g \rightarrow M \rightarrow \ker f \rightarrow 0\]
Non esattamente. Io devo dimostrare che $ker F(g) = Im F(f)$, dove $F(f)$ e $F(g)$ sono le immagini dei morfismi attraverso il funtore. E' la stessa cosa? Perché? Da dove viene la successione corta che hai scritto?
Stai cercando di rifare la Proposizione 1.11.3 d Borceux, Handbook of Categorical Algebra, tomo II.
In particolare la definizione "giusta" di funtore esatto e' un funtore che rispetta limiti e colimiti (o equivalentemente la roba che ti serve per definirli, ovvero (co)prodotti e (co)nuclei.)
Cosa puoi dimostrare con questa definizione?
Che un funtore $F$ e' esatto sse preserva le sequenze esatte, e piu' precisamente che preserva le sequenze esatte sse preserva le brevi. Alla fine della fiera devi usare il fatto che in una categoria abeliana c'e' un sistema di fattorizzazione dato dalle classi degli epi e dei mono. Pagina 51 del suddetto tomo e' esplicativa, se non ce l'hai lo puoi recuperare (cough) legalmente.
In particolare la definizione "giusta" di funtore esatto e' un funtore che rispetta limiti e colimiti (o equivalentemente la roba che ti serve per definirli, ovvero (co)prodotti e (co)nuclei.)
Cosa puoi dimostrare con questa definizione?
Che un funtore $F$ e' esatto sse preserva le sequenze esatte, e piu' precisamente che preserva le sequenze esatte sse preserva le brevi. Alla fine della fiera devi usare il fatto che in una categoria abeliana c'e' un sistema di fattorizzazione dato dalle classi degli epi e dei mono. Pagina 51 del suddetto tomo e' esplicativa, se non ce l'hai lo puoi recuperare (cough) legalmente.
Letto il paragrafo che mi hai indicato. Credo di aver capito. Grazie mille
Mi sono imbattuto nello stesso problema di Pappappero e ho trovato in rete una soluzione.
Sia $M \to N \to P$ una sequenza esatta. Allora si ha il seguente diagramma (con le diagonali esatte)
.
Applicando il funtore si ottiene (sempre con le diagonali esatte)
.
Resta da mostrare che $F(M) \to F(N) \to F(P)$ è esatta. Ciò è vero poiché
\(
\operatorname{Im}F(f)= \\
\operatorname{Im}(F(M)\to F( \operatorname{Im} f) \to F(N) )= \\
\operatorname{Im}(F( \operatorname{Im} f) \to F(N) ) = \\
\operatorname{Ker}(F(N) \to F( \operatorname{Im} g) )= \\
\operatorname{Ker}(F(N) \to F( \operatorname{Im} g) \to F(P))= \\
\operatorname{Ker}(F(g))
\),
ove la seconda uguaglianza segue dalla suriettività di \( F(M)\to F( \operatorname{Im} f) \) e la quarta dall'iniettività di \( F( \operatorname{Im} g) \to F(P) \).
Sia $M \to N \to P$ una sequenza esatta. Allora si ha il seguente diagramma (con le diagonali esatte)
.Applicando il funtore si ottiene (sempre con le diagonali esatte)
.Resta da mostrare che $F(M) \to F(N) \to F(P)$ è esatta. Ciò è vero poiché
\(
\operatorname{Im}F(f)= \\
\operatorname{Im}(F(M)\to F( \operatorname{Im} f) \to F(N) )= \\
\operatorname{Im}(F( \operatorname{Im} f) \to F(N) ) = \\
\operatorname{Ker}(F(N) \to F( \operatorname{Im} g) )= \\
\operatorname{Ker}(F(N) \to F( \operatorname{Im} g) \to F(P))= \\
\operatorname{Ker}(F(g))
\),
ove la seconda uguaglianza segue dalla suriettività di \( F(M)\to F( \operatorname{Im} f) \) e la quarta dall'iniettività di \( F( \operatorname{Im} g) \to F(P) \).
Si', e' questo quel che fa Borceux.
Ora piu' difficile, divertiamoci un po'.
Un funtore \(F\colon \mathcal C\to \mathcal D\) tra categorie finitamente complete si dice "esatto a destra" se commuta coi colimiti finiti, ed "esatto a sinistra" se commuta coi limiti finiti. Se \(\mathcal D=\mathbf{Sets}\), vi sono delle condizioni equivalenti all'esattezza a sinistra:
1. La categoria degli elementi di $F$ (ovvero la categoria che ha per oggetti le coppie $(X, x\in FX)$ e per morfismi le cose ovvie) e' filtrante;
2. $F$ e' colimite filtrante di funtori rappresentabili; ovvero esiste un diagramma \(S : \mathcal{J} \to [\mathcal{C},\mathbf{Sets}]\) con J filtrante, per cui \(\varinjlim_{j\in\mathcal{J}} S\cong F\).
3. L'estensione di Yoneda $\text{Lan}_yF$ commuta coi limiti finiti.
Vi invito a:
(a) dimostrare che cosi' e', e dualizzare opportunamente per quel che riguarda l'esattezza a destra.
(b) pensare se un set di criteri simile possa valere anche quando \(\mathcal{D}\) non e' \(\mathbf{Sets}\).
Ora piu' difficile, divertiamoci un po'.
Un funtore \(F\colon \mathcal C\to \mathcal D\) tra categorie finitamente complete si dice "esatto a destra" se commuta coi colimiti finiti, ed "esatto a sinistra" se commuta coi limiti finiti. Se \(\mathcal D=\mathbf{Sets}\), vi sono delle condizioni equivalenti all'esattezza a sinistra:
1. La categoria degli elementi di $F$ (ovvero la categoria che ha per oggetti le coppie $(X, x\in FX)$ e per morfismi le cose ovvie) e' filtrante;
2. $F$ e' colimite filtrante di funtori rappresentabili; ovvero esiste un diagramma \(S : \mathcal{J} \to [\mathcal{C},\mathbf{Sets}]\) con J filtrante, per cui \(\varinjlim_{j\in\mathcal{J}} S\cong F\).
3. L'estensione di Yoneda $\text{Lan}_yF$ commuta coi limiti finiti.
Vi invito a:
(a) dimostrare che cosi' e', e dualizzare opportunamente per quel che riguarda l'esattezza a destra.
(b) pensare se un set di criteri simile possa valere anche quando \(\mathcal{D}\) non e' \(\mathbf{Sets}\).
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