Differenze intere

[axpgn]

Supponiamo che $a$ e $b$ siano due numeri reali distinti tali che $a-b, a^2-b^2, ..., a^k-b^k, ...$ siano tutti interi.

a) $a$ e $b$ devono essere razionali?

a) $a$ e $b$ devono essere interi?



Cordialmente, Alex

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Per come è stato posto il problema, se ne dedurrebbe il vincolo \(k \in \mathbb{Z}^+ \). In ogni caso, posto \( n \in \mathbb{Z} \), l'equazione \( a^k-b^k = n \) ammette infinite soluzioni (per ciascun \(k\) pari) per infinite coppie fissate di numeri \(a\) e \(b\) irrazionali, tali che \(a \neq b\): basta porre \(a := -b\) con \(a \in \{\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5},\ldots\}\) (contributi interessanti per espandere il ragionamento spesso partono dando credito al breve paper di Besicovitch, del 1940, intitolato "On the linear independence of fractional powers of integers").

Comunque, se vogliamo che l'uguaglianza valga proprio per ogni \(k\) intero (positivo), allora passare ai razionali e imporre l'ulteriore condizione \(|a|\neq |b|\) non ci farà che ottenere solo un numero finito di risultati interi, per qualsiasi coppia fissata \( (a,b) \).
Non conoscendo poi l'origine del quesito (non so se si tratti di un esercizio/compito o simili), non aggiungo altro, ma forse il modo più "naturale" di procedere (lo so, battuta fiacca) è proprio quello di cercare qualche contributo già pubblicato nel relativo intorno...

Un esempio simpatico che sovviene (anche per lo sviluppo delle relative frazioni a cui dedicai un vecchio articolo), non sapendo né leggere né scrivere, è prendere \(a:=3+\frac{1}{3}\) e \(b:=\frac{1}{3} \) e così troviamo che \( \left(\frac{10}{3}\right)^k-\left(\frac{1}{3}\right)^k \) è intero, oltre che per \(k=0\) (che però non vale per ipotesi), se \( k = 1, 2, 3,\ldots \) (ah bene, forse ci siamo!!), ma poi ops, ops, ops,...

[2e543318e6a8602051219b452505a7c0b11de594]

P.S. Aggiungo qui come Spoiler la risposta che avrei altrimenti dato, così spero di non far troppo danno a chi volesse cimentarsi per conto proprio nell'esercizio.
ATTENZIONE SPOILER!

Cfr. Teorema 1 del seguente paper di Gallardo e Goudet del 2012 https://www2.smc.math.ca/crux/v38/n1/Article_38_1.pdf

[axpgn]

Ti garantisco che non è necessario scrivere un paper per giungere alla soluzione

[2e543318e6a8602051219b452505a7c0b11de594]

"axpgn":Ti garantisco che non è necessario scrivere un paper per giungere alla soluzione

Magari è colpa mia che perdo tempo a chiedermi che senso abbia riscoprire l'acqua calda, quando già si conosce la risposta e ci sono articoli che generalizzano i casi particolari di cui ci si chiede l'esito che si possono trovare e linkare in poche righe. La differenza tra scrivere paper di ricerca o giocare con i quesiti delle Olimpiadi della Matematica per ragazzi immagino stia proprio in questo.

Marco

[moccidentale]

.

[axpgn]

Diciamo che questa sezione è più orientata al "gioco" o meglio alla "gara" piuttosto che all'approfondimento; per quello è più adatta la sezione "Pensare un po' di più".
Peraltro una cosa non esclude l'altra ... IMHO

[hydro1]

Tra l'altro qua la domanda è proprio quella contraria, ovvero: che senso ha scrivere un paper su un problema da olimpiadi? Già siamo pieni di pubblicazioni inutili...

Che debbano essere razionali è ovvio: se $a-b$ e $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ sono interi, allora $a-b$ e $a+b$ sono razionali (se $a\ne b$), e quindi $a,b$ sono razionali.

Sapendo che sono razionali, supponiamo che $v_p(a)<0$ per qualche primo $p$, dove $v_p$ è la valutazione $p$-adica. Allora ovviamente dev'essere $v_p(a)=v_p(b)=e<0$, dal momento che dev'essere $v_p(a-b)\ge 0$. Ne segue che $a=a_1/p^e$ e $b=b_1/p^e$ per qualche $a_1,b_1\in \mathbb Z_p$. Ora dev'essere $v_p(a_1^k-b_1^k)\ge ke$ per ogni $k$, il che implica che $a_1^k\equiv b_1^k\mod p^{ke}$. Ma quando $k$ è coprimo con $p(p-1)$ questo implica che $a_1\equiv b_1\mod p^{ke}$. Siccome esistono infiniti $k$ con questa proprietà, si deve avere che $a_1\equiv b_1\mod p^{ke}$ per infiniti $k$, e questo ovviamente implica che $a_1=b_1$. Ne concludiamo che $a=b$ oppure sono entrambi interi.

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"hydro":Tra l'altro qua la domanda è proprio quella contraria, ovvero: che senso ha scrivere un paper su un problema da olimpiadi? Già siamo pieni di pubblicazioni inutili...

Che debbano essere razionali è ovvio: se $a-b$ e $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ sono interi, allora $a-b$ e $a+b$ sono razionali (se $a\ne b$), e quindi $a,b$ sono razionali.

Sapendo che sono razionali, supponiamo che $v_p(a)<0$ per qualche primo $p$, dove $v_p$ è la valutazione $p$-adica. Allora ovviamente dev'essere $v_p(a)=v_p(b)=e<0$, dal momento che dev'essere $v_p(a-b)\ge 0$. Ne segue che $a=a_1/p^e$ e $b=b_1/p^e$ per qualche $a_1,b_1\in \mathbb Z_p$. Ora dev'essere $v_p(a_1^k-b_1^k)\ge ke$ per ogni $k$, il che implica che $a_1^k\equiv b_1^k\mod p^{ke}$. Ma quando $k$ è coprimo con $p(p-1)$ questo implica che $a_1\equiv b_1\mod p^{ke}$. Siccome esistono infiniti $k$ con questa proprietà, si deve avere che $a_1\equiv b_1\mod p^{ke}$ per infiniti $k$, e questo ovviamente implica che $a_1=b_1$. Ne concludiamo che $a=b$ oppure sono entrambi interi.

IMHO, un paper che dimostra un risultato di cui il dato quesito è un mero caso particolare, merita di essere citato anche solo per non rischiare di far inavvertitamente passare il messaggio che si possa "personalizzare" ciò che è già stato pubblicato da altri, senza dargliene credito e in secundis sono abituato a chiedere la provenienza di un quesito per sincerarmi di non star svolgendo compiti altrui, prassi consolidata in altri gruppi internazionali che ho frequentato.
Chiarito ciò, ho capito un po' meglio lo spirito della sezione e ringrazio l'utente per questo; tuttavia resto dell'opinione che tutto ciò che viene pubblicato abbia di fatto più valore di qualsiasi risultato che viene poi "riscoperto", la penso così e non trovo stimolante cercare di ridimostrare cose che già conosco sprecando linee di testo pur di invocare solo altri teoremi più "primordiali".

[2e543318e6a8602051219b452505a7c0b11de594]

P.S. Nel caso specifico dell'utente hydro, visto che non vogliamo invocare teoremi (restando in tema, che so, il teorema di Ostrowki lo reputiamo banale o no... su quali basi non soggettive?), potrei anche chiedere a questo punto di ridimostrare in proprio che l'ordine \(p\)-adico sul campo ($mathbb{Q},+,·$) sia una "valuation", soddisfacendone il relativo triplice criterio.

[axpgn]

Vedi caro marcokrt, quello che scrivi è senz'altro interessante (per me ostico ma non per hydro) però sicuramente esula dallo spirito di questa sezione (che peraltro è diretta agli studenti delle superiori, tutti non solo i più preparati) mentre lo vedrei benissimo nell'altra sezione.
Sempre IMHO

[hydro1]

"marcokrt":
IMHO, un paper che dimostra un risultato di cui il dato quesito è un mero caso particolare, merita di essere citato anche solo per non rischiare di far inavvertitamente passare il messaggio che si possa "personalizzare" ciò che è già stato pubblicato da altri, senza dargliene credito e in secundis sono abituato a chiedere la provenienza di un quesito per sincerarmi di non star svolgendo compiti altrui, prassi consolidata in altri gruppi internazionali che ho frequentato.

Ma ci mancherebbe, non stavo criticando te per aver citato questo paper, stavo solo dicendo che questo è un esempio perfetto di un paper che non dovrebbe esistere, perchè non tutti i risultati originali sono interessanti. Questo è un quesito a cui qualsiasi ricercatore con una preparazione minima in teoria dei numeri sa rispondere velocemente (infatti per quanto il risultato del paper sia lievemente più generale, la prova è essenzialmente uguale a quella che ho scritto; non capisco nemmeno perchè gli autori la facciano così lunga). La letteratura scientifica purtroppo è intasata dal rumore bianco per vari motivi (in primis, ma non unicamente, per la cultura del publish or perish), e sarebbe carino che gli editor dei giornali combattessero questa tendenza.

"marcokrt":P.S. Nel caso specifico dell'utente hydro, visto che non vogliamo invocare teoremi (restando in tema, che so, il teorema di Ostrowki lo reputiamo banale o no... su quali basi non soggettive?), potrei anche chiedere a questo punto di ridimostrare in proprio che l'ordine \( p \)-adico sul campo ($ mathbb{Q},+,· $) sia una "valuation", soddisfacendone il relativo triplice criterio.

Il teorema di Ostrowski è certamente non banale ma altrettanto certamente è un'arma di base nell'arsenale di qualsiasi ricercatore con una preparazione decente. Tra l'altro difficilmente si invoca il teorema di Ostrowski nelle dimostrazioni, più che altro si usa implicitamente quando si fa riferimento ad esempio alla regola del prodotto nei campi globali. Certo, puoi chiedere di ridimostrare qualsiasi cosa e se ti rende soddisfatto posso farlo (anche se non capisco bene il perchè). Ho scritto una prova stringata in linguaggio matematicamente "alto" ma si può tranquillamente riscrivere tutto in termini elementari usando solo le congruenze modulo $p^n$ e l'aritmetica di $\mathbb Z$, semplicemente usando le definizioni.

[axpgn]

"hydro":[quote="marcokrt"] Ho scritto una prova stringata in linguaggio matematicamente "alto" ma si può tranquillamente riscrivere tutto in termini elementari usando solo le congruenze modulo $p^n$ e l'aritmetica di $\mathbb Z$, semplicemente usando le definizioni.

[/quote]

... che è la soluzione che conosco e alla portata di studenti di questa sezione