Un problema sui divisori

[gugo82]

Quali sono i numeri $n$ interi tali che il loro quadruplo è uguale al cubo del loro numero di divisori interi positivi?
Cioè, per quali $n \in ZZ$ vale
\[
\big[ \operatorname{d}(n)\big]^3 = 4n\; ?
\]
[In cui \(\operatorname{d}(n)\) è proprio il numero di divisori interi positivi di $n$]

[giammaria2]

Fra i divisori si contano anche 1 ed il numero stesso? Ad esempio, quanti e quali sono i divisori di un numero primo?

[Quinzio]

"giammaria":Fra i divisori si contano anche 1 ed il numero stesso? Ad esempio, quanti e quali sono i divisori di un numero primo?

Probabilmente si, pero' ovviamente aspettiamo la risposta di gugo.
In questo modo

con $n = 2$ i divisori sono $1$ e $2$.
$(#d(2))^3 = 2^3 = 8 = 4 \cdot 2$

E' gia' un inzio

[giammaria2]

Oltre alla soluzione data da Quinzio, ne ho trovate per tentativi altre due. Non credo che ce ne siano altre, ma non saprei dimostrarlo.

Parto dal fatto che se la scomposizione in fattori di $n$ è $n=a_1^(h_1)*a_2^(h_2)....a_m^(h_m)$ (in cui le $a_i$ sono numeri primi diversi fra loro), allora $d(n)=(h_1+1)(h_2+1)...(h_m+1)$; è quasi intuitivo e ne ometto la dimostrazione.
La soluzione di Quinzio è $n=2=2^1$, quindi $d(n)=2$ ed i due membri valgono $2^3$.
Vi aggiungo le mie due.
- $n=128=2^7$; ho $d(n)=8=2^3$ ed i due membri valgono $2^9$
- $n=2000=2^4*5^3$; ho $d(n)=5*4=2^2*5$ ed i due membri valgono $2^6*5^3$

[hydro1]

Poniamo \(n=2^\alpha 3^{\alpha_0} p_1^{\alpha_1}\dots p_m^{\alpha_m}\), con $5\le p_1<\ldots3\alpha_i+1$, deve essere necessariamente $\alpha_i=0$ per ogni $i$, e si ottiene $n=128$ che va bene. Se $\alpha_0=1$, sostituendo si trova \(4\prod_{i\ge 1}(3\alpha_i+1)=3 p_1^{\alpha_1}\dots p_m^{\alpha_m}\). Ora osserviamo i termini $4(3\alpha_1+1)$ e $3p_1^{\alpha_1}$. Se il primo è minore del secondo non ci sono chance che la relazione sia verificata. L'unico caso in cui il primo non è minore del secondo è $p_1=5$, $\alpha_1=1$. Ora sostituiamo e rifacciamo il ragionamento con $p_2$. Si vede in fretta che non ci sono altre soluzioni. Il lettore paziente potrà verificare a mano tutti i casi rimanenti.

[gugo82]

Quello che ho proposto è un esercizio di allenamento alle Olimpiadi, che stavo rivedendo per/con alcuni studenti; al momento non ho la soluzione.
Appena ho un po' di tempo leggo con attenzione la risposta di hydro, che mi pare molto stringata e devo approfondire qualche passaggio.

Facendo un po' di conti, avevo trovato $2$ e $2^7$ anch'io, ma $2000$ no.

E sì, si contano anche i divisori banali, da com'è scritta la traccia.