Triangolo equilatero

[axpgn]

Calcolare il lato di un triangolo equilatero conoscendo solo il valore delle ascisse dei tre vertici.


Cordialmente, Alex

[moccidentale]

.

[giammaria2]

Do anche un altro metodo di soluzione.

Chiamo $a,b,c$ le ascisse dei vertici A, B, C (essendo A quello a sinistra) e chiamo $phi$ l'angolo che la bisettrice di $hat A$ forma con l'asse x. Poiché questa bisettrice forma angoli di 30° con AB, AC ho
${(b-a=lcos(phi-30°)),(c-a=lcos(phi+30°)):}->{(b-a=l(sqrt3/2 cos phi+1/2sin phi)),(c-a=l(sqrt3/2 cos phi-1/2sin phi)):}$
Posto per brevità $b_1=b-a;c_1=c-a$, sommo e sottraggo.
${(b_1+c_1=l sqrt3 cos phi),(b_1-c_1=l sin phi):}->{(l cos phi=(b_1+c_1)/sqrt 3),(l sin phi=b_1-c_1):}$
Quadrando e sommando, ottengo
$l^2=(b_1+c_1)^2/3+(b_1-c_1)^2= (b_1^2+2b_1c_1+c_1^2+3b_1^2-6b_1c_1+3c_1^2)/3=(4(b_1^2-b_1c_+c_1^2))/3$
ed estraendo la radice $l=2/sqrt3 sqrt(b_1^2-b_1c_1+c_1^2)$
E' la stessa formula di sellacollesella, solo scritta in modo diverso: non evidenzia il fatto che c'è simmetria fra le tre ascisse, ma è più concisa.

[axpgn]

@sellacollesella
Bravo!

Aggiungo questa soluzione alle tre che conosco, una geometrica, una "fisica" e una coi complessi


@giammaria
C'è qualcosa che non torna ...

Non è equivalente a quella di sellacollessella, prova con $a=1, b=2, c=3$.
D'altra parte la soluzione non può prescindere da $a$.

[moccidentale]

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[axpgn]

Sorry, mi era sfuggito

[giammaria2]

@ sellacollesella. Grazie per aver preso le mie difese.

@ axpgn. Mi incuriosisce la soluzione "fisica": puoi scriverla, almeno a grandi linee?

[axpgn]

Riporto la soluzione "fisica" in originale.

A physics solution.
Without loss of generality, we can assume that $a+b+c=0$. Thus, the y-axis passes through the triangle’s centroid. The moment of inertia of the system consisting of the three triangle vertices with respect to the y-axis is $a^2 + b^2 + c^2$. Now, we add the symmetry consideration: the inertia ellipse must be invariant under the 60-degree rotation, implying that the ellipse is actually a circle. This means that the inertia moment doesn’t change under any system rotation. Thus, we can assume that one of the vertices lies on the y-axis. In this case, the inertia moment equals $L^2/2$, where $L$ is the length of the triangle’s side. The answer follows.

[giammaria2]

Grazie.

[axpgn]

Prego.

Peraltro io trovo che la soluzione geometrica è la più carina