Giochi Matematici
Discussioni sulla risoluzione di giochi matematici.
Domande e risposte
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Determinare tutte le quaterne $(a, b, n, p$) di interi positivi in cui $p$ è un numero primo e
$a^3 + b^3 = p^n$
Dimostrare che $a^2+b^2+c^2 \leq a^2b+b^2c+c^2a+1$ , con $a,b,c$ reali positivi minori di 1.
Sia data una circonferenza di centro $O$ e sia $P$ un punto interno al cerchio. Sia $Q$ un punto sulla circonferenza. Quali sono i punti $Q$ che massimizzano l'angolo [tex]O \widehat QP[/tex]?
Siano $a,b,c$ le lunghezze dei lati di un triangolo e $x,y,z$ le lunghezze delle mediane di quel triangolo.
Dimostrare che vale la seguente disuguaglianza:
[tex]2(x^2+y^2+z^2) \leq 3(ab+bc+ca) \leq 4(x^2+y^2+z^2)[/tex]
Sia dato un triangolo equilatero $ABC$ ed un punto $P$ interno ad esso tale che $PA=5$, $PB=4$, $PC=3$.
Qual è la lunghezza del lato del triangolo?
(Evitare di usare la trigonometria)
Leggendo questo articolo di wikipedia mi è sorto in mente questo quesito:
QUESITO
Siano \(\displaystyle a,b,n,k \in \mathbb{N} \) e \(\displaystyle a>0 , \; b>0 , \; n>0 , \; k>0 \). Inoltre \(\displaystyle a-b=k \, n \). Indicato con % l'operazione di resto della divisione tra numeri interi, dimostrare che \(\displaystyle a\%n = b\%n \).
PROPOSTA MIA
Sia \(\displaystyle a\%n = \alpha \) ed \(\displaystyle b\%n = \beta \). Vogliamo dimostrare che \(\displaystyle \alpha=\beta \). Sia / ...
Dati due punti nel piano $A$ e $B$ che sono due vertici di un triangolo e fissata la lunghezza di una mediana $m$, qual è il luogo geometrico del terzo vertice?
Sia $A$ un insieme di $k$ numeri interi strettamente positivi e distinti.
Dimostrare che esiste sempre un sottoinsieme non vuoto di $A$ (che può anche coincidere con $A$), tale che $k$ divide la somma dei numeri che compongono tale sottoinsieme.
Ecco un tentativo di soluzione.
Ciascuno dei $k$ elementi dell'insieme $A$ si può scrivere nella forma $ak+b$, ove $a,binNN$ con ...
$n$ mulini lavorando per $n$ ore al giorno producono in $n$ giorni $n$ quintali di farina.
Quanti quintali di farina è possibile produrre avendo a disposizione $m$ mulini che lavorano per $m$ ore al giorno in $m$ giorni?
Alberto e Barbara fanno il seguente gioco:
Su di un tavolo ci sono 1999 cerini: a turno ogni giocatore deve togliere dal tavolo un numero di cerini a sua scelta, purche maggiore o uguale ad uno, e minore o uguale alla meta del numero dei cerini che in quel momento sono sul tavolo. Il giocatore che lascia sul tavolo un solo cerino perde. Barbara e la prima a giocare.
Determinare per quale dei due giocatori esiste una strategia vincente e descrivere tale strategia.
Presento il quesito:
Trovare il massimo numero intero positivo che divide tutti i numeri della
forma
n^7 + n^6 - n^5 -n^4
con n intero maggiore di 1.
La mia soluzione:
Scomponendo il polinomio si ha n^4 * (n-1)(n+1)^2
Si evince dal polinomio scritto in questo stato che tra i fattori primi dei numeri ottenuto attribuendo un valore arbitrario a n ci devono essere necessariamente 2 e 3. A questo punto bisogna trovare gli esponenti minimi di questi due fattori (il massimo comun divisore). Il ...
Qual è la regola di ordinamento ciclico di queste dieci cifre 6 7 3 0 4 5 1 9 8 2 ?
Detta \(\displaystyle d(n) \) la somma delle cifre di \(\displaystyle n \), trovare tutti gli \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \) tali che siano soluzione dell'equazione:
\(\displaystyle n+d(n)+d(d(n))=1997 \)
Sia definita una successione come segue:
$a_1=x \in \mathbb{N}$
$a_{n+1}=x^{a_n}\quad, \forall n \in \mathbb{N}$
Si dimostri che:
$\forall m \quad \exists k \quad t.c. \quad a_k \equiv a_{k+1} (mod\ m)$
$m,k \in \mathbb{N}$
Propongo un simpatico problema, a cui non ho più di tempo di ragionarci.
Il testo è semplice:
Quali sono i possibili anagrammi della parola TENNESSEE tali che una N e una delle ultime due E restino SEMPRE alla stessa distanza che hanno nella parola data?
Ho trovato una soluzione con parole senza lettere ripetute ed un modo per far tornare la soluzione per la parola sopra, ma sarebbe interessante trovare una regola generale.
alcuni esempi di parole e casi degeneri, ...
Sia $n\inNN$
Si dimostri, preferibilmente senza ricorrere all'aritmetica modulare, che se è vero che $2^n-1$ è un multiplo di $7$, allora $n$ è multiplo di $3$. Ecco una dimostrazione poco analitica:
Si nota che se $(2^n-1)$ è multiplo di 7, allora $(2^n)/7$ deve dare come resto 1. $2^1:7$ da come resto $2$, $2^2/7$ da come resto $4$, $2^3/7$ da come resto ...
Vi propongo un'altro esercizio.
Siano dati i seguenti polinomi a coefficienti interi.
$f(X) = x^9368033040-x^1171004130+x^2-1$
$g(x) = x^4+x^3+x^2+x$.
Si sa che $g(x) $ ha due radici reali e due complesse.
Dimostrare che $f(x) $ ha con $g(x)$ due radici complesse comuni. Mentre ha una sola radice reale comune con $f(x)$.
Suggerimento :
Tenete presente che $i^1=1 , i^2 = -1 , i^3=-i , i^4=1$
Buon divertimento.
Sia $x in ZZ , x!=0$ , $n in NN$ , $p$ un primo. $n$ della forma $n=(2p^6-12p^5+30p^4-40p^3+30p^2-12p+2)/(-2+10 p-20 p^2+20 p^3-10 p^4+2p^5)$
Mostrare che $ AA x in ZZ, x!=0 , x^n$ ha sempre resto 1 se diviso per p.
Suggerimento
Si può utilizzare il fatto che se $p$ è primo, allora , se $x in ZZ$ , $x^(p-1)$ ha sempre resto uno se diviso per $p$.
Vi propongo un giochino di stampo algebrico. Non è difficile, ne tanto banale. Dovete dimostrare questa implicazione, si può fare , penso , anche senza conoscere propriamente l'aritmetica modulare. Ci possono provare un po tutti
Giochino :
Sia $x in ZZ$ , $n in NN$ e $p$ primo.
1)Mostrare che $AA n in NN , $ il numero $x^n-x^(n+1)$ è un multiplo di $p$ se e solo se $x$ è un multiplo di $p$ oppure ...
Sia $k$ un intero positivo.
Dimostrare in quali casi $(2^2k+2^k+1)$ è un multiplo di $7$
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