Anagrammi a distanza fissata

[hamming_burst]

Propongo un simpatico problema, a cui non ho più di tempo di ragionarci.

Il testo è semplice:

Quali sono i possibili anagrammi della parola TENNESSEE tali che una N e una delle ultime due E restino SEMPRE alla stessa distanza che hanno nella parola data?

Ho trovato una soluzione con parole senza lettere ripetute ed un modo per far tornare la soluzione per la parola sopra, ma sarebbe interessante trovare una regola generale.

alcuni esempi di parole e casi degeneri, il numero di anagrammi ammessi e le lettere a distanza fissa $1$

$\text{ABCD}$ ci sono $8$ anagrammi, lettere considerate $B=2°$ posizione e $D=4°$ posizione
$\text{TENNE}$ ci sono $24$ anagrammi, $N=3,E=5$
$\text{PIPPO}$ ci sono $16$ anagrammi, $P=1,P=3$

discussione originale con la soluzione di parole con lettere non ripetute in Statistica
possibili-anagrammi-di-una-parola-t99451.html

[marco99991]

Forse sono io che non ci arrivo, ma mi puoi spiegare perchè in $ABCD$ sono ammessi $8$ anagrammi? (un esempio vale l'altro, se mi spieghi questo capisco gli altri due). Non riesco a trovare il procedimento che hai applicato.

[hamming_burst]

"marco9999":Forse sono io che non ci arrivo, ma mi puoi spiegare perchè in $ABCD$ sono ammessi $8$ anagrammi? (un esempio vale l'altro, se mi spieghi questo capisco gli altri due). Non riesco a trovare il procedimento che hai applicato.

il punto è che non ho trovato un modo per costruire e calcolare gli altri due, sono casi particolari del metodo per anagrammi senza ripetizioni (io l'ho fatto in parte con un software per trovari i casi mancanti). Per TENNESSEE è più semplice perchè è una derviazione di TENNE e ci si arriva con due conti. Quello che sarebbe interessante è proprio calcolare tutti i casi con un'unica formulazione.

Riporto il caso con anagrammi senza ripetizioni. Metto in spoiler per chi nn vuole avere abbagli su soluzioni alternative.

è la soluzione proposta in Statistica.

Le lettere che vogliamo rimangano a distanza fissa $d=1$ sono $B,D$. Per far capire sostituisco $B,D$ con (*)

permutazione delle lettere non fisse (anagrammi possibili):
1. A(*)C(*) = ABCD
2. C(*)A(*) = CBAD

spostiamo a sinistra di uno le lettere fisse (step successivi) e poi ripermutiamo:
3. (*)A(*)C = BADC
4. (*)C(*)A = BCDA

ora aggiungiamo anche le possibili permutazioni di $B,D$:
5. ADCB
6. CDAB
7. DABC
8. DCBA

la formulazione matematica:
$n$ lettere totali
$d$ distanza
$l$ lettere fisse

- consideriamo gli anagrammi possibili senza considerare le due lettere fisse: $(n-l)!$
- possibili spostamenti a sinistra (o destra): $(n-d-l)+1$ (1 la pos. 0)
- in aggiunta consideriamo le permutazioni delle lettere fisse: $l!$

$(4-2)!*((4-1-2)+1)*2! = 8$

questo però funziona solo con anagrammi senza ripetizioni.
Es. con TENNE (senza considerare la permutazione di $B,D$ crea 18 anagrammi, al contrario che quelli ammessi sarebbero 16, ce ne sono 2 ripetuti). Per arriavare a 24 lo ho fatto tramite software, ed essendo un caso ridotto di TENNESSE è implicato trovare il risultato corretto

[marco99991]

Grazie della spiegazione hammingburst!