Funzione costante su un denso

[isabellaaa97]

Buongiorno. Devo dimostrare questa cosa:
Sia $X$ uno spazio topologico, $A\subseteqX$ sottospazio denso di $X$ e $Y$ uno spazio topologico $T1$:
sia $f: X\rightarrowY $ una funzione continua che è costante su $A$. Dimostrare che $f$ è costante su tutto $X$.

Io so che date due funzioni $f: X\rightarrowY $ e $g: X\rightarrowY $ continue, con $Y$ spazio di Hausdorff, che coincidono su un sottoisieme denso di $X$ allora le due funzioni coincideranno su tutto l'insieme $X$. In questo caso però io ho che $Y$ è $T1$, non Hausdorff, e so che Hausdorff implica $T1$ ma non il viceversa. C'è un modo per dimostrare in questo caso che lo spazio di arrivo $Y$ è Hausdorff?

[otta96]

Buongiorno anche a te!
Comunque non è la strada giusta cercare di dimostrare che $Y$ è $T_2$, si vede con dei facili esempi che non è detto.
Va cercata un'altra strada, prova a ricalcare quella dimostrazione in questo caso e guarda se ti viene.

[isabellaaa97]

"otta96":Buongiorno anche a te!
Comunque non è la strada giusta cercare di dimostrare che $Y$ è $T_2$, si vede con dei facili esempi che non è detto.
Va cercata un'altra strada, prova a ricalcare quella dimostrazione in questo caso e guarda se ti viene.

Ho pensato di dimostrare che l'insieme $A$ oltre ad essere un denso è anche un chiuso, ma non so bene come fare concretamente.

[otta96]

Come fa $A$ ad essere chiuso? Scusa ma nell'altra dimostrazione cosa facevi?

[fmnq]

Mettiamo che \(f|_A\) sia costante in $y_0$. In un T1 i punti sono chiusi, quindi \(K=f^\leftarrow\{y_0\}\) è chiuso; del resto è un chiuso che contiene $A$, il quale essendo denso è tale che \(\overline A = X\); la tesi segue dal fatto che \(X=\overline A\subseteq K\).