Correzione esercizio soluzioni sistema al variare di k

[mari-98]

Ciao a tutti avrei bisogno di un aiuto con questo esercizio:
Si consideri il sistema omogeneo : $ Sigma :{ ( x1+2 x2- x3+x5=0 ),( 2x1+4x2+x3-x5=0 ),( x1+2x2+2x3+(k+3)x5=0 ):} $
determinare l'insieme delle soluzioni e e la dimensione al variare di k:
$ ( ( 1 , 2 , -1 , 0 , 1 ),( 2 , 4 , 1 , 0 , -1 ),( 1 , 2 , 2 , 0 , k+3 ) ) $
l'ho ridotta a scalini e per k diverso da -8 il rango della matrice è 3 (quindi la dimensione è 3 oppure numero di incognite meno il rango e quindi due?)
e l'insieme delle soluzioni u= { (-2a+2c/k+5, a, c/k+5,b, c/k+5)}
per k=-8 il rango mi risulta essere 1 (ho sempre lo stesso dubbio di prima sulla dimensione ) e l'insieme delle soluzioni è: {(-2a+b-d, a,b,c,d)}

Poi un altro punto dell'esercizio mi dice :
Posot W= L((4,-2,0,5), (0,0,2,-1,2),(-2,1,1,1,1))
Determinare Dim W : devo quindi determinare il rango?
ii) Esistono valori di k per i quali U(k) e W sono somma diretta? qui avevo pensato di scrivere una sola matrice per U e
W e ridurla a scalini, nel caso nessuno riga si annullasse allora è somma diretta.
Non so se questi procedimenti sono giusti, spero possiate aiutarmi

[Anacleto13]

Poi un altro punto dell'esercizio mi dice :
Posto $W= \mathcal{L}((4,-2,0,5), (0,0,2,-1,2),(-2,1,1,1,1))$
Determinare Dim W : devo quindi determinare il rango?

Beh qual'è la definizione di rango e dimensione? direi di si...

Comunque potresti sistemare le formule? si fa fatica ad aiutarti così per il subscript usa l'underscore $x_1$ = x_1

[mari-98]

Allora il mio sistema è :
$ { ( x_1 +2x_2-x_3+x_5=0 ),( 2x_1+4x_2+x_3-x_5=0 ),( x_1+2x_2+2x_3+(k+3)x_5=0 ):} $
Come matrice associata ho scritto quella riportata sopra ho autocorretto la soluzione del sistema in quanto mi sono resa conta che per k diverso da -8, la dimensione del sistema è 3 mentre da dimensione delle soluzioni del sistema è 2; le soluzioni sono:
$ { ( x_1+2x_2-x_3+x_5=0 ),( x_2=a ),( 3x_3-3x_5=0 ),( x_4=b ),( (k+5)x_5=0 ):} $

quindi $ U_k= {(-2a,a,0,,b,0): a,b in R} $
Per k=-8 la dimensione del sistema è 1, mentre la dimensione dell'insieme delle soluzioni è 4:
U_k= = { (-2a+b-d,a,b,c,d)}Così è svolto bene?