Correzione esercizio su ker, autovalori e studio della diagonalizzazione
Ciao a tutti vorrei un aiuto con questo esercizio in quanto non avendo i risultati non so se è giusto lo svolgimento..
Sia \( \varphi k : R^3 \rightarrow R^3 \) un'applicazione lineare avente matrice associata :
\( Ak= \begin{pmatrix} k+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & k \end{pmatrix} \)
i) Scrivere l'applicazione lineare associata alla matrice :
Per questo punto ho fatto : \( Ak= \begin{pmatrix} k+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \) e quindi l'applicazione lineare mi risulta essere:
[x1(k+1) + x3), x1+x2-x3, 2x1 + kx3] ;
ii) Determinare Im quando k=-2:
\( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Im = { (-1,0,1), (1,1,-1) }
Determinare Ker quando k= -2:
\( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
\( \begin{cases} x1=a \\ x2=0 \\ x3=a \end{cases} \)
Ker = { (a,0,a) \ a \( \in \) R }
iii) Determinare gli autovalori per k= -2 :
\( \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} \) =
\( ( 1- \lambda ) [ \lambda ^2 - \lambda +1 ] \) quindi un autovalore è 1, ma quando vado a svolgere il delta del polinomio mi viene negativo e non so come andare avnti .. devo considerare solo l'autovalore 1?
Mi manca un altro punto dell'esercizio ma senza questo non posso continuarlo.. Grazie mille in anticipo
Sia \( \varphi k : R^3 \rightarrow R^3 \) un'applicazione lineare avente matrice associata :
\( Ak= \begin{pmatrix} k+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & k \end{pmatrix} \)
i) Scrivere l'applicazione lineare associata alla matrice :
Per questo punto ho fatto : \( Ak= \begin{pmatrix} k+1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & k \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \) e quindi l'applicazione lineare mi risulta essere:
[x1(k+1) + x3), x1+x2-x3, 2x1 + kx3] ;
ii) Determinare Im quando k=-2:
\( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & -2 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Im = { (-1,0,1), (1,1,-1) }
Determinare Ker quando k= -2:
\( \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
\( \begin{cases} x1=a \\ x2=0 \\ x3=a \end{cases} \)
Ker = { (a,0,a) \ a \( \in \) R }
iii) Determinare gli autovalori per k= -2 :
\( \begin{vmatrix} 1-\lambda & 0 & -1 \\ 0 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{vmatrix} \) =
\( ( 1- \lambda ) [ \lambda ^2 - \lambda +1 ] \) quindi un autovalore è 1, ma quando vado a svolgere il delta del polinomio mi viene negativo e non so come andare avnti .. devo considerare solo l'autovalore 1?
Mi manca un altro punto dell'esercizio ma senza questo non posso continuarlo.. Grazie mille in anticipo
Risposte
Hai azzeccato solo il kernel 
Fai una gran confusione e usi la matrice ridotta per determinare l'immagine e pure gli autovalori quando invece devi usare la matrice che ti è stata data.
La base che hai trovato per l'immagine (che è lo spazio delle colonne) in realtà è la base dello spazio delle righe (ovvero l'immagine della trasposta della matrice). Infatti i vettori che la compongono sono perpendicolari al vettore del kernel (o spazio nullo).
Fai una gran confusione e usi la matrice ridotta per determinare l'immagine e pure gli autovalori quando invece devi usare la matrice che ti è stata data.
La base che hai trovato per l'immagine (che è lo spazio delle colonne) in realtà è la base dello spazio delle righe (ovvero l'immagine della trasposta della matrice). Infatti i vettori che la compongono sono perpendicolari al vettore del kernel (o spazio nullo).
ok quindi considerando la matrice iniziale: $ ( ( -1 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , -1 ),( 2 , 0 , -2 ) ) $
L'Im sarà : [ $ ( ( -1 ),( 1 ),( 2 ) ), ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ]
Ora correggo il calcolo degli autovalori..
ps: l'applicazione lineare associata invece è fatta bene?
Grazie mille del tuo aiuto
L'Im sarà : [ $ ( ( -1 ),( 1 ),( 2 ) ), ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) $ ]
Ora correggo il calcolo degli autovalori..
ps: l'applicazione lineare associata invece è fatta bene?
Grazie mille del tuo aiuto
Si è tutto ok
Allora ho determinato gli autovalori della matrice : $ ( ( -1-lambda , 0 , 1 ),( 1 , 1-lambda , -1 ),( 2 , 0 , -2-lambda ) ) $
il determinante dell matrice è : $ lambda (-lambda ^2-2lambda +3) $
gli autovalori saranno 0, -3 , ed 1 e tutti e tre hanno molteplicità geometrica e molteplicità algebrica uguale ad 1.
L'autospazio l'ho calcolato relativo a 0 ed è :
$ Vo= [ ( a ),( 0 ),( a ) ] $
La matrice diagonale:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -3 ) ) $
Ho studiato poi la diagonalizzabilità al variare di k:
$ ( ( k+1-lambda , 0 , 1 ),( 1 , 1-lambda , -1 ),( 2 , 0 , k-lambda ) ) $
Il determinante è :
$ (lambda -1)[-lambda ^2 +lambda (2k+1)-k^2 -k+2] $
Il delta del polinomio di secondo grado mi viene 3 e
Gli autovalori sono : $ lambda 1= 1 $ $ lambda 2= k-4 $ $ lambda 3= k+5 $
Ora per k=5 mi viene la m.a. 2 e quella geometrica 1 quindi la matrice non è diagonlizzabile;
Per k=-4 m.a. 2 e m.g. 1 quindi la matrice non è diagonalizzabile ;
Per k diverso da -4 e k diverso da 5 la matrice è diaganalizzabile in quanto esisteno 3 radici differenti .
il determinante dell matrice è : $ lambda (-lambda ^2-2lambda +3) $
gli autovalori saranno 0, -3 , ed 1 e tutti e tre hanno molteplicità geometrica e molteplicità algebrica uguale ad 1.
L'autospazio l'ho calcolato relativo a 0 ed è :
$ Vo= [ ( a ),( 0 ),( a ) ] $
La matrice diagonale:
$ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , -3 ) ) $
Ho studiato poi la diagonalizzabilità al variare di k:
$ ( ( k+1-lambda , 0 , 1 ),( 1 , 1-lambda , -1 ),( 2 , 0 , k-lambda ) ) $
Il determinante è :
$ (lambda -1)[-lambda ^2 +lambda (2k+1)-k^2 -k+2] $
Il delta del polinomio di secondo grado mi viene 3 e
Gli autovalori sono : $ lambda 1= 1 $ $ lambda 2= k-4 $ $ lambda 3= k+5 $
Ora per k=5 mi viene la m.a. 2 e quella geometrica 1 quindi la matrice non è diagonlizzabile;
Per k=-4 m.a. 2 e m.g. 1 quindi la matrice non è diagonalizzabile ;
Per k diverso da -4 e k diverso da 5 la matrice è diaganalizzabile in quanto esisteno 3 radici differenti .
La prima parte è ok (e l'autovettore relativo a zero lo conoscevi già).
La seconda parte è tutta ok, incluso il polinomio caratteristico e il delta...però arrivata al traguardo per qualche strano motivo scrivi che: $ lambda 1= 1 $ $ lambda 2= k-4 $ $ lambda 3= k+5 $
Il che è impossibile dato che per k=-2 dovresti ottenere gli autovalori che già conosci (fai sempre un check!)
Gli autovalori sono:
$ lambda_1= 1 $ $ lambda_2= k+2 $ $ lambda_3= k-1 $
Quindi per $k=-1$ e $k=2$ abbiamo due radici coincidenti e pari a 1, quindi andiamo a vedere i casi:
a) $k=-1$ e $ lambda= 1$ e abbiamo $m.a.=m.g.=2$
b) $k=2$ e $ lambda= 1$ $m.a.=2!=m.g.=1$
Quindi la matrice è diagonalizzabile per tutti i valori k eccetto $k=2$
La seconda parte è tutta ok, incluso il polinomio caratteristico e il delta...però arrivata al traguardo per qualche strano motivo scrivi che: $ lambda 1= 1 $ $ lambda 2= k-4 $ $ lambda 3= k+5 $
Il che è impossibile dato che per k=-2 dovresti ottenere gli autovalori che già conosci (fai sempre un check!)
Gli autovalori sono:
$ lambda_1= 1 $ $ lambda_2= k+2 $ $ lambda_3= k-1 $
Quindi per $k=-1$ e $k=2$ abbiamo due radici coincidenti e pari a 1, quindi andiamo a vedere i casi:
a) $k=-1$ e $ lambda= 1$ e abbiamo $m.a.=m.g.=2$
b) $k=2$ e $ lambda= 1$ $m.a.=2!=m.g.=1$
Quindi la matrice è diagonalizzabile per tutti i valori k eccetto $k=2$
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