Simmetria assiale e rotazione
Sono un po' confuso, sulla correzione di un esercizio vero/falso
(a) Il cogniugato \(r \circ s \circ r^{-1} \) di una simmetria assiale (affine) per una rotazione affine è una simmetria assiale (affine).
Io avrei risposto falso!
(b) La composizione \(r \circ s \) di una rotazione (affine) e una simmetria assiale (affine) è una simmetria assiale (affine)
Io avrei risposto vero.
Questo perché abbiamo visto un teorema in corso che dice:
L'insieme \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \) delle rotazioni affini è un sotto gruppo normale del gruppo \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2) \) e l'insieme \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} \) delle simmetrie affini è il traslato (a sinistra o a destra) dell'insieme \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \) per un elemento qualunque di \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} \). Per tutte le simmetrie afifni \( s \in \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} \) abbiamo che:
\( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} = s \circ \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \circ s \)
Mentre le risposte nelle correzioni sono (a) vero e (b) falso senza alcuna spiegazione... onestamente non capisco il motivo.
(a) Il cogniugato \(r \circ s \circ r^{-1} \) di una simmetria assiale (affine) per una rotazione affine è una simmetria assiale (affine).
Io avrei risposto falso!
(b) La composizione \(r \circ s \) di una rotazione (affine) e una simmetria assiale (affine) è una simmetria assiale (affine)
Io avrei risposto vero.
Questo perché abbiamo visto un teorema in corso che dice:
L'insieme \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \) delle rotazioni affini è un sotto gruppo normale del gruppo \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2) \) e l'insieme \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} \) delle simmetrie affini è il traslato (a sinistra o a destra) dell'insieme \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \) per un elemento qualunque di \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} \). Per tutte le simmetrie afifni \( s \in \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} \) abbiamo che:
\( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} = s \circ \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \circ s \)
Mentre le risposte nelle correzioni sono (a) vero e (b) falso senza alcuna spiegazione... onestamente non capisco il motivo.
Risposte
Secondo me, non stare a specificare ogni volta quell'"affine", è bruttarello e inutile; non ha senso parlare di "rotazione proiettiva".
Comunque, vedo che scrivi \(\mathbb R^2\), ma probabilmente l'esercizio si riferisce ad \(\mathbb R^n\), no?
Infine, mi pare chiaro che il primo sia vero: poni \(X=r^{-1}x, Y=r^{-1}y\), allora l'equazione
\[
rsr^{-1} x= y\]
diviene
\[
sX=Y, \]
quindi \(s\) è sempre la stessa simmetria assiale, ma nel nuovo sistema di riferimento ruotato.
Comunque, vedo che scrivi \(\mathbb R^2\), ma probabilmente l'esercizio si riferisce ad \(\mathbb R^n\), no?
Infine, mi pare chiaro che il primo sia vero: poni \(X=r^{-1}x, Y=r^{-1}y\), allora l'equazione
\[
rsr^{-1} x= y\]
diviene
\[
sX=Y, \]
quindi \(s\) è sempre la stessa simmetria assiale, ma nel nuovo sistema di riferimento ruotato.
Grazie mille, io ho semplicemente riscritto l'esercizio tale quale quindi quell'affine non sono io che l'ho aggiunto sempre 
Comunque no, l'esercizio si riferiva proprio ad \( \mathbb{R}^2 \), quindi posso dire che \( r \circ s \circ r^{-1} = s' \) e allo stesso modo per il teorema \( s \circ r \circ s^{-1} = r' \) ??
E per il punto b)?
Comunque no, l'esercizio si riferiva proprio ad \( \mathbb{R}^2 \), quindi posso dire che \( r \circ s \circ r^{-1} = s' \) e allo stesso modo per il teorema \( s \circ r \circ s^{-1} = r' \) ??
E per il punto b)?
Per il punto b), in verità, non lo so. Prova a usare i numeri complessi. Componi la rotazione di \(90°\), ovvero la moltiplicazione per \(i\), con la riflessione rispetto all'asse reale, ovvero la coniugazione complessa. Che cosa ottieni? E' una riflessione?
"dissonance":
Per il punto b), in verità, non lo so. Prova a usare i numeri complessi. Componi la rotazione di \(90°\), ovvero la moltiplicazione per \(i\), con la riflessione rispetto all'asse reale, ovvero la coniugazione complessa. Che cosa ottieni? E' una riflessione?
Però sei d'accordo che il teorema è in contraddizione con la risposta della soluzione?
"3m0o":
Per tutte le simmetrie affini \( s \in \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} \) abbiamo che:
\( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{-} = s \circ \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} = \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^{+} \circ s \) .
Quindi presa una simmetria posso comporla a sinistra con una rotazione e ottengo una simmetria per il teorema.
Mentre nelle soluzioni mi dice che non ottengo una simmetria.
Comunque in italiano una riflessione sarebbe una simmetria assiale?
Certo, una simmetria assiale. Quello devi verificare, se la composizione sia una simmetria ASSIALE o no. Il teorema che citi non serve a niente, perché parla genericamente di simmetrie.
"dissonance":
Certo, una simmetria assiale. Quello devi verificare, se la composizione sia una simmetria ASSIALE o no. Il teorema che citi non serve a niente, perché parla genericamente di simmetrie.
Forse sono confuso io, forse mi confonde il francese, forse entrambe le cose o forse nessuna delle due cose ma le dispense che ha preparato il professore dicono:
Capitolo 3.5 Classificazione delle isometrie affini.
Definizione 3.9. Un isometria affine generale (non forzatamente lineare) \( \phi = t_{\phi(0)} \circ \phi_0 \)
sarà detta speciale (o rispettivamente non speciale) se la sua parte lineare \( \phi_0 \) è speciale (risp. non speciale).
- Un isometria speciale sarà chiamata ugualmente rotazione affine.
- Una isometria non-speciale sarà chiamata ugualmente simmetria affine.
E designeremo con \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^+ \) e rispettivamente \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^- \) gli insiemi delle isometrie speciali o non. Abbiamo dunque \( \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)= \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^+ \sqcup \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^- \)
Poi enuncia il teorema che ho citato.
3.6 Rotazioni affini:
Thm 3.13 Sia \( r \in \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^+ \) una rotazione affine.
- Se la parte lineare di \( r \) è l'identità allora è una translazione e \( \operatorname{Fix}(r)=\emptyset \) tranne se il vettore di translazione è il vettore nullo, e in tal caso \( r = \operatorname{Id}_{\mathbb{R}^2} \) e \( \operatorname{Fix}(r)= \mathbb{R}^2 \)
- Se la parte lineare di \( r \) non è l'identità allora \( \operatorname{Fix}(r) \) si riduce ad un unico punto, che chiameremo il centro di \(r\).
[...]
3.7 Simmetrie affini:
Sia \( s=t_{s(0)} \circ s_0 \) una simmetria affine di parte lineare \( s_0 \) d'asse \( \mathbb{R} \cdot \vec{u} \) e \( \vec{v} \neq 0 \) perpendicolare ad \( \vec{u} \).
Thm. 3.14 L'insieme dei punti fissi di \(s \) è l'insieme vuoto oppure una retta affine (la traslata di una retta vettoriale). Quest'ultimo caso è verificato se e solo se \( s(0) \) è perpendicolare all'asse \( \mathbb{R} \cdot \vec{u} \).
[...]
Definizione 3.10 una simmetria affine \( s \) è chiamata:
- Simmetria "glissee" se \( \operatorname{Fix}(s) = \emptyset \)
- Simmetria ortogonale (o assiale) se \( \operatorname{Fix}(s) \) è una retta affine. Questa retta è l'asse di simmetria.
[...]
Quello che devo cercare è una rotazione \( r \circ s \) che composta ad una simmetria assiale mi dia una simmetria "glissee" che non so tradurre ? In quanto per il teorema che ho scritto nel post precedente, la composizione di \( r \circ s \) è una simmetria affine. Corretto? Penso di si, perché penso di aver capito ora. Il falso non è riferito al fatto che non è una simmetria ma al fatto che non è una simmetria assiale... dunque simmetria glissee
Sia \( \vec{w} \neq 0 \) Basta prendere dunque \( r = t_{\vec{w}} \in T(\mathbb{R}^2) \subset \operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2)^+ \) e prendere una qualunque simmetria assiale \(s \) tale che \( \vec{w} \) non è parallelo a \( s(0) \), infatti \(s'= t_{\vec{w} } \circ s =t_{\vec{w} } \circ t_{s(0)} \circ s_0 = t_{\vec{w}+s(0)} \circ s_0 \) e il vettore \( \vec{v} = \vec{w} + s(0) \) non è perpendicolare all'asse di \( s_0 \) dunque \( \operatorname{Fix}(s') = \emptyset \) dunque simmetria glissee?
Grazie penso di aver capito
Ah adesso ho capito perché specifica sempre "affine". E' in contrapposizione a "lineare", non a "proiettivo".
Simmetria glissée sarà una roba che contiene una traslazione, che "glissa" il piano. L'esempio che fai mi PARE corretto ma non ti fidare troppo che l'ho letto di fretta.
Immagino che avrai gli esami a breve. In bocca al lupo!
Simmetria glissée sarà una roba che contiene una traslazione, che "glissa" il piano. L'esempio che fai mi PARE corretto ma non ti fidare troppo che l'ho letto di fretta.
Immagino che avrai gli esami a breve. In bocca al lupo!
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