Ortogonalità tra tensore sym e skw

[Matteo.gregori1]

salve non capisco perchè il prodotto scalare tra un sym e uno skw dovrebbe essere nullo, posso capire se sono sym e skw dello stesso tensore allora dovrebbero essere ortogonali tra di loro, ma in generale questo perchè dovrebbe essere vero ? io ho fatto questo conto so che M è un tensore del secondo ordine e lo scompongo cosi;
sym =$ 1/2(M+M') $ e skw = $ 1/2(M-M') $ allora devo trovare quando
$ 1/2(M+M')*1/2(M-M') =0 $
$ 1/4(M'M-M'M'+MM-MM')=0 $
ma se prendo ad esempio M1 e M2 uno sym e uno skw questa cosa mi fa :
$ 1/4(M1'M2-M1'M2'+M1M2-M1M2')=0 $
e quindi dovrebbe verificarsi che
$ M1'M2=M1M2' $
$ M1'M2'=M1'M2' $
non lo so non mi sembra corretto ho provato anche a mettere due matrici su matlab e il risultato non è zero, volevo farlo con la notazione tensoriale ma non credo cambi nulla, scusate se ripropongo la domanda ma non riesco ad uscirne, il mio professore ha detto questa cosa che il prodotto scalare tra un tensore sym e uno skw è zero ma non riesco a dimostrarlo mi potete aiutare

[fmnq]

Calma.

Quel che hai scritto non ha alcun senso. Cos'è uno "skw"? Cos'è un "sym"? Stai forse dicendo che il sottospazio dei tensori simmetrici e quello dei tensori antisimmetrici sono in somma diretta ortogonale?

[Magma1]

Il prodotto scalare di due matrici $A, B$ è $A*B=a_(ij)b_(ij)$.

[Bokonon]

"Matteo.gregori":salve non capisco perchè il prodotto scalare tra un sym e uno skw dovrebbe essere nullo, posso capire se sono sym e skw dello stesso tensore allora dovrebbero essere ortogonali tra di loro, ma in generale questo perchè dovrebbe essere vero ? io ho fatto questo conto so che M è un tensore del secondo ordine e lo scompongo cosi

Come sai qualsiasi matrice nxn può essere scomposta nella somma di due matrici sym+skew.
Quindi sono in somma diretta e quindi lo sono anche le dimensioni dei rispettivi spazi sym e skew, ergo sono spazi ortogonali.
Infatti il prodotto scalare di una matrice sym e una skew è sempre 0 indipendentemente dal fatto che siano associate al medesimo tensore o meno.

[fmnq]

"Magma":

:idea: Il prodotto scalare di due matrici $A, B$ è $A*B=a_(ij)b_(ij)$.

No, questo è il loro prodotto di Hadamard. Tanto più che un prodotto scalare dovrebbe assumere valori nell'anello dei coefficienti, non dare una terza matrice come risultato.

[Magma1]

"fmnq":
No, questo è il loro prodotto di Hadamard. Tanto più che un prodotto scalare dovrebbe assumere valori nell'anello dei coefficienti, non dare una terza matrice come risultato.

Intendo dire questo

Quindi si chiama prodotto di Hadamarth; buono a sapersi!

[fmnq]

Sì, lo avevo capito, ma le cose vanno chiamate col loro nome (perché rispondi mettendo certe cose in spoiler?).

Ora, alla luce di questa definizione, è evidente che il prodotto $:$ (dio che notazione orrenda) tra due matrici una simmetrica (diciamo $A$) e una antisimmetrica (diciamo $B$) è zero:
\[
A : B = \sum_{ii} a_{ij}b_{ij} = \sum_{i \] Note:
1. Quella definizione viene da un libro di fisica, o peggio di ingegneria? Lo sospetto perché le sommatorie sono indicizzare su $1,2,3$.
2. Hadamard.

[Magma1]

"fmnq":perché rispondi mettendo certe cose in spoiler?).

Perché le foto non si potrebbero caricare

"fmnq": (dio che notazione orrenda)

Io ho sempre usato la notazione del prodotto scalare $*$

"fmq": Quella definizione viene da un libro di fisica, o peggio di ingegneria?

Ingegneria

"fmnq":Hadamard

[Matteo.gregori1]

"fmnq":Sì, lo avevo capito, ma le cose vanno chiamate col loro nome (perché rispondi mettendo certe cose in spoiler?).

Ora, alla luce di questa definizione, è evidente che il prodotto $:$ (dio che notazione orrenda) tra due matrici una simmetrica (diciamo $A$) e una antisimmetrica (diciamo $B$) è zero:
\[
A : B = \sum_{ii} a_{ij}b_{ij} = \sum_{i \] Note:
1. Quella definizione viene da un libro di fisica, o peggio di ingegneria? Lo sospetto perché le sommatorie sono indicizzare su $1,2,3$.
2. Hadamard.

si era proprio questo che volevo dimostrare grazie mille ! non capisco però quel perchè, intendi che siccome un skw essendo quel tensore tale che $ b_{ij}=-b_{ji} $ allora quando ho $ b_{ii} $ devo avere per forza 0 poichè è l'unico numero contemporaneamente positivo e negativo allo stesso tempo ?

[Bokonon]

="Matteo.gregori"
non capisco però quel perchè

Perchè la diagonale di una skew è sempre composta da zeri...

[fmnq]

"Bokonon":

="Matteo.gregori"
non capisco però quel perchè

Perchè la diagonale di una skew è sempre composta da zeri...

...se la caratteristica del campo dei coefficienti in cui prendi le matrici non è 2.

[dissonance]

Comunque, a parte le incomprensioni tra notazioni matematiche e ingegneristiche, questa è una cosa molto semplice:
\[
(M+M^T)\cdot( M-M^T) = M\cdot M - M\cdot M^T +M^T \cdot M -M^T\cdot M^T.\]
Ora, qualsiasi cosa significhino i simboli \(\cdot\) e \(M^T\), se è vero che

1. \(M\cdot M = M^T\cdot M^T\),
2. \(M\cdot M^T = M^T\cdot M\),

allora quella roba vale zero. Si tratta quindi di ispezionare le definizioni e vedere se quelle proprietà sono verificate, sia che siamo matematici sia che siamo ingegneri.

[fmnq]

Sono d'accordo, ma si tratta comunque di dimostrare che il prodotto \(:\) (oh no, mi è tornata l'orticaria) è bilineare, e soddisfa le proprietà 1 e 2...

[Bokonon]

....altrimenti, come ho scritto nel primo post, basta notare che una skew non sarà mai una sym per definizione, quindi lo spazio delle skew e quello delle sym non si interseca. Inoltre tutte le matrici nxn sono combinazione lineare di una skew + una sym. Ergo $ dim(A_(nxn))=dim(skew_(nxn))o+ dim(sym_(nxn)) $ quindi i due spazi sono ortogonali.

[dissonance]

@Bokonon: se questo argomento fosse corretto, anche le rette \(\{x=0\}\) e \(\{x=y\} \) sarebbero ortogonali. Con quel discorso di dimensione si può solo dimostrare che la somma dei due sottospazi è diretta.

[Bokonon]

Hai ragione. In effetti se due spazi sono ortogonali implica che sono in somma diretta ma non vale il viceversa.
Una chiusura non è necessariamente ortogonale.
Chissà perchè ricordavo (evidentemente molto male) un'argomentazione del genere per le skew e le sym...