Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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3. Determinare le matrici associate alle seguenti applicazioni lineari nei riferimenti fissati:
$ f1: a_0 + a_1x + a_2x^2 in R^2[x] -> ( ( a_0 , a_1-a_2 ),( a_2 , 0 ) ) in R_2,_2 $
$ R = (1,1+x, x+x^2), R' = ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Salve questo è il primo esercizio di tanti altri, vorrei provare a capire insieme questo per poi passare agli altri. Quello che credo di aver capito è che devo trovare i vettori immagine delle basi e poi costruirci una matrice giusto?
Sapendo che f e un’applicazione lineare di $ R^3 $ in $ R[x]_<=_3 $ tale che $ f((1, 0, 1)) −1 + 2x −x^2 + x^3 $ , $ f((1, 1, 2)) = 4x + x^3 $ e $ f((0, 0, 1)) = 2x − x^2 $ dire perché e come si può determinare f((a1, a2, a3)) per ogni vettore (a1, a2, a3) di $ R^3 $ . Inoltre:
1) Determinare l'immagine ed il nucleo di Kerf di f;
2) Dire se l'applicazione è iniettiva, suriettiva e perché;
3) scrivere la matrice associata a f nei riferimenti $ B = ((1, 0, 1),(0, 0, 1),(0, 1, 1)) $ e $ B' = (1, 1 + x, −x^2, x + x^3) $ .
- dire perché e come si ...
La domanda è questa.
Sia $T:RR^2 -> RR^2$ un'applicazione lineare iniettiva. È vero che $T$ ha almeno un autovalore???
Grazie mille a chi risponderà
Scusate ragazzi, ho una domanda per chi di voi abbia studiato sul libro "Geometria" di Marco Abate o addirittura abbia avuto lui come prof.
Il capitolo 8 (Cambiamenti di base) mi sta facendo uscire pazzo al punto da sospettare che in tutto il capitolo una convenzione sia stata invertita. Mi spiego meglio.
Il problema è sorto sulla definizione della matrice di cambiamento di base da B a B'. Abate scrive che se M è la matrice di passaggio da B a B' allora vale la seguente: x = M x' dove x e x' ...
Dati i sottoinsiemi S = {(1, 1, 0),(0, 1, 1)} e T = {(1, 2, 1),(1, 0, −1),(0, 0, 0)} dello spazio vettoriale R3 con le operazioni usuali, dimostrare che ciascun vettore di S e combinazione lineare dei vettori di T e che ciascun vettore di T è combinazione lineare dei vettori di S. E vero che L(S) = L(T), ossia che S e T generano lo stesso spazio vettoriale?
Sopra c'è il testo dell'esercizio. A dimostrare che sono combinazioni lineare non ci metto nulla, mi basta uguagliare un vettore ai ...
Sia π il piano di equazione cartesiana x − y − z = 0 e sia r la
retta di equazioni cartesiane x + 2y + 2 = 0 e x − z + 1 = 0.
Determinare una rappresentazione cartesiana del piano π′ contenente r e perpendicolare a π.
Bene ragazzi io so che devo scrivere l'equazione del fascio di piani avente come asse la retta r...
Dunque immagino sia:
x+2y+2+h(x-z+1)=0
Da cui
(1+h)x+2y+hz+2+h(?)
Da qui però non so proprio come andare avanti e non so neanche se sono giusti i calcoli...
qualche buon ...
Ciao. Sia \( M=\left(m_{ij}\right) \) una matrice \( m\times n \), e \( p \) un intero positivo minore di \( n \). Possiamo dividere in blocchi la matrice \( M \) attraverso due matrici \( A=\left(a_{ij}\right) \) e \( B=\left(b_{ij}\right) \) rispettivamente di \( m\times p \) e \( m\times(n-p) \) righe e colonne.
Se \( X=\left(x_{ij}\right) \) è una matrice \( l\times m \), scritta \( M \) come[nota]Perché \left[\begin{array}{@{}c|c@{}}A & ...
Salve,
in una qualsiasi applicazione lineare iniettiva il nucleo è zero ed ogni elemento dell'immagine ha un solo corrispettivo nella controimmagine.
In una qualsiasi applicazione lineare NON iniettiva, nucleo > 0, un elemento dell'immagine può avere una o più controimmagini. In quest'ultimo caso, se io conosco una controimmagine di un vettore w , è coretto dire che posso ottenere tutte le controimmagini di w sommando il nucleo alla singola controimmagine posseduta?
Ed in generale è corretto ...
I am trying to implement a ray casting (or ray tracing) algorithm.
It is clear for me how to project a set of point or solid objects to a plane from a given viewpoint, and to reduce them to screen integer coordinates.
But what I really don't know how to implement is the inverse projection, from the screen plane to object space.
Can you help me ?
Salve ragazzi, data la matrice A: $ ( ( 4 , -2 , -1 ),( 5 , -2 , -1 ),( -2 , 1 , 1 ) ) $ come faccio a capire subito,facendo pochi calcoli,che la matrice non è diagonalizzabile per similitudine? Voglio capire se c'è un metodo o comunque un'osservazione abbastanza veloce che mi permette di affermare a priori, la non diagonalizzabilità.Grazie a tutti
Mi sono imbattuto in questo esercizio, di cui non capisco la seconda parte.
Sia $V=C^0("[0,1]") $ lo spazio vettoriale delle funzioni continue su $[0,1]$.
Sia $W=span{1,x,x^2}$ il sottospazio $W$ dei polinomi di grado minore o uguale a $2$, posto in $W$ il prodotto scalare:
$v(x)*w(x)=int_0^1v(x)*w(x)dx$
1) determinare una base ortonormale per $W$
2) Dato l'elemento $v(x)=e^x$ , $v(x) in V$, trovare la sua proiezione ...
Salve a tutti, ho bisogno di una mano a risolvere questo quesito.
Quale omomorfismo $RR^3 -> RR^3$ manda il triangolo di vertici $(0,0,0),\ (1,1,1),\ (-1,0,1)$ nel triangolo di area maggiore ?
Salve, durante la prova scritta di matematica discreta uno degli esercizi richiedeva la risoluzione di un sistema in forma parametrica, la traccia è la seguente:
$ { ( x+y+z+t=2 ),( 2x+3y=3 ):} $
io tenendo conto di questa soluzione del prof:
ho aggiunto al sistema l'equazione z=z
$ { ( x+y+z+t=2 ),( 2x+3y=3 ), (z=z):} $
e ho risolto per sostituzione arrivando a
$ { ( x= 1-3t),( y=2t-1 ),( z=z ):} $
È corretta come soluzione?
Ciao a tutti!
Avrei bisogno di aiuto col seguente esercizio:
Assegnati i vettori di $R^4$ linearmente indipendenti $w_1=(1,0,0,1)$, $w_2=(2,1,0,1)$, $w_3=(1,-2,1,0)$ determinare le equazioni parametriche e cartesiane dei seguenti sottospazi:
$W_1=mathcal{L}(w_1)$; $W_2=mathcal{L}(w_1,w_2)$; $W_3=mathcal{L}(w_1,w_2,w_3)$
(Con "$mathcal{L}$" intendo la combinazione lineare)
per $W_1$ è giusto dire che la equazione parametrica è ${ ( x=lamda ),( y=0 ),( z=0 ),( t=lamda ):}$ o è meglio ...
Salve ragazzi ho un dubbio, sto provando a risolvere questo esercizio:
data l'applicazione lineare R^3-->-R^2 definita da f(x,y,z)=(x-y-z,x+2z) determinare
basi e dimensioni di ker f e Im f
Per calcolare la base di Im f devo trovare,come mi ha suggerito un'utente , la matrice associata rispetto alla base canonica.In questo caso non riesco a capire se ,per il calcolo della matrice associata (che poi mi permetterà di individuare una base dell'immagine), occorre ...
Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema:
Data la matrice $A_n \in \mathcal{M}_{n-1,n-1}$ di elementi $ a_{ij}={ (1\qquad i\ne j),( i+2 \qquad i=j ):} $ determinare il comportamento della successione $c_n=\frac{\det(A_{n}) }{n!}$.
Il mio approccio inizialmente è stato quello di cercare una formula chiusa per determinante di $A_n$ utilizzando opportunamente l'eliminazione gaussiana ma non riesco a venirne fuori sebbene sono quasi sicuro che la soluzione del problema preveda l'utilizzo di questo approccio.
Salve, non riesco a risolvere questo esercizio :
sia f:M(2;R)--->R^2 l'applicazione lineare definita da
f $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ = (t-x,z+y).
Devo trovare la base e la dimensione di ker f e Im f.
Procedo in questo modo :
1)risolvo il sistema lineare omogeneo ed estraggo due basi che dovrebbero essere quelle del nucleo :
$ b=( ( 1, 0 ),( 0 , 1 ) ) b1=( ( 0, 1 ),( -1 , 0 ) ) $
a questo punto deduco che la dim ker f = 2, però applicando il teorema della nullità del rango la dimensione del sottospazio di partenza deve essere uguale ...
Ciao. Vorrei provare che l'inversa dell'operazione \( L_{ij}(m) \) descritta su https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix#Row-addition_transformations è \( L_{ij}(-m) \).
Ossia, voglio dimostrare che la matrice \( I+me_{ij} \), dove \( e_{ij} \) è la matrice che ha \( 1 \) in \( ij \) e \( 0 \) in ogni altra coordinata, ha per inversa la matrice \( I-me_{ij} \). Apparentemente ho già sbagliato tre volte i conti, perché \( \left(I+me_{ij}\right)\left(I-me_{ij}\right) \) mi dà come risultato \( I-m^2e_{ij}e_{ij} \), dove secondo termine non è ...
Sia $S={u_1, u_2, ..., u_k}$ un sistema di vettori. Valgono queste proposizioni:
1. Ogni vettore di $S$ dipende linearmente da $S$.
2. Il sistema $S$ è linearmente dipendente se e solo se almeno un suo vettore dipende dai rimanenti.
Vorrei capire se ho interpretato bene queste due proposizioni. Se $S$ è linearmente dipendente allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere tramite più combinazioni lineari di vettori ...
Devo dimostrare che in $RR^2$ il sistema $S= {(1,0),(0,1)}$ è un sistema linearmente indipendente massimale.
Considerati $h_1$ e $h_2$ scalari, una combinazione lineare del tipo $h_1(1,0) + h_2(0,1)=0$ mi implica necessariamente che $h_1 = h_2 = 0$, quindi è dimostrata la lineare indipendenza.
Considerato un qualsiasi vettore $u in RR$ esso dipende linearmente da $S$, infatti $u = (x,y) = x(1,0) + y(0,1)$. Se considero $S uu {u}$, poiché un ...
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