Geometria e Algebra Lineare

Salve ho difficoltà con questo esercizio: Completare in una base dello spazio ambiente gli insiemi che tra i seguenti risultano essere linearmente indipendenti: (i) $ {(1, 0, 0, 1),(0, 1, 1, 0),(0, 1, 2, 0)} ⊆ R^4 $ (ii) $ {(0, 1, 0, 1),(1, 1, 0, 1),(2, 1, 0, 1)} ⊆ R^4 $ (iii) $ {x^2+ x, x + 1, 3 + x} ⊆ R^4[x] $ (iv) $ {(1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 1, 1)} ⊆ R^3 $ Per il completamento alla base io so che devo trovare un altro (od altri) vettore che sia linearmente indipendente a quelli già presenti. Per fare ciò uguaglio e tento con i vettori identità, facendo, per esempio: a(1,0,0,1) + b(0,1,1,0) + ...

3. Determinare le matrici associate alle seguenti applicazioni lineari nei riferimenti fissati: $ f1: a_0 + a_1x + a_2x^2 in R^2[x] -> ( ( a_0 , a_1-a_2 ),( a_2 , 0 ) ) in R_2,_2 $ $ R = (1,1+x, x+x^2), R' = ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ Salve questo è il primo esercizio di tanti altri, vorrei provare a capire insieme questo per poi passare agli altri. Quello che credo di aver capito è che devo trovare i vettori immagine delle basi e poi costruirci una matrice giusto?

Sapendo che f e un’applicazione lineare di $ R^3 $ in $ R[x]_<=_3 $ tale che $ f((1, 0, 1)) −1 + 2x −x^2 + x^3 $ , $ f((1, 1, 2)) = 4x + x^3 $ e $ f((0, 0, 1)) = 2x − x^2 $ dire perché e come si può determinare f((a1, a2, a3)) per ogni vettore (a1, a2, a3) di $ R^3 $ . Inoltre: 1) Determinare l'immagine ed il nucleo di Kerf di f; 2) Dire se l'applicazione è iniettiva, suriettiva e perché; 3) scrivere la matrice associata a f nei riferimenti $ B = ((1, 0, 1),(0, 0, 1),(0, 1, 1)) $ e $ B' = (1, 1 + x, −x^2, x + x^3) $ . - dire perché e come si ...

La domanda è questa. Sia $T:RR^2 -> RR^2$ un'applicazione lineare iniettiva. È vero che $T$ ha almeno un autovalore??? Grazie mille a chi risponderà

Scusate ragazzi, ho una domanda per chi di voi abbia studiato sul libro "Geometria" di Marco Abate o addirittura abbia avuto lui come prof. Il capitolo 8 (Cambiamenti di base) mi sta facendo uscire pazzo al punto da sospettare che in tutto il capitolo una convenzione sia stata invertita. Mi spiego meglio. Il problema è sorto sulla definizione della matrice di cambiamento di base da B a B'. Abate scrive che se M è la matrice di passaggio da B a B' allora vale la seguente: x = M x' dove x e x' ...

Dati i sottoinsiemi S = {(1, 1, 0),(0, 1, 1)} e T = {(1, 2, 1),(1, 0, −1),(0, 0, 0)} dello spazio vettoriale R3 con le operazioni usuali, dimostrare che ciascun vettore di S e combinazione lineare dei vettori di T e che ciascun vettore di T è combinazione lineare dei vettori di S. E vero che L(S) = L(T), ossia che S e T generano lo stesso spazio vettoriale? Sopra c'è il testo dell'esercizio. A dimostrare che sono combinazioni lineare non ci metto nulla, mi basta uguagliare un vettore ai ...

Sia π il piano di equazione cartesiana x − y − z = 0 e sia r la retta di equazioni cartesiane x + 2y + 2 = 0 e x − z + 1 = 0. Determinare una rappresentazione cartesiana del piano π′ contenente r e perpendicolare a π. Bene ragazzi io so che devo scrivere l'equazione del fascio di piani avente come asse la retta r... Dunque immagino sia: x+2y+2+h(x-z+1)=0 Da cui (1+h)x+2y+hz+2+h(?) Da qui però non so proprio come andare avanti e non so neanche se sono giusti i calcoli... qualche buon ...

Ciao. Sia \( M=\left(m_{ij}\right) \) una matrice \( m\times n \), e \( p \) un intero positivo minore di \( n \). Possiamo dividere in blocchi la matrice \( M \) attraverso due matrici \( A=\left(a_{ij}\right) \) e \( B=\left(b_{ij}\right) \) rispettivamente di \( m\times p \) e \( m\times(n-p) \) righe e colonne. Se \( X=\left(x_{ij}\right) \) è una matrice \( l\times m \), scritta \( M \) come[nota]Perché \left[\begin{array}{@{}c|c@{}}A & ...

Salve, in una qualsiasi applicazione lineare iniettiva il nucleo è zero ed ogni elemento dell'immagine ha un solo corrispettivo nella controimmagine. In una qualsiasi applicazione lineare NON iniettiva, nucleo > 0, un elemento dell'immagine può avere una o più controimmagini. In quest'ultimo caso, se io conosco una controimmagine di un vettore w , è coretto dire che posso ottenere tutte le controimmagini di w sommando il nucleo alla singola controimmagine posseduta? Ed in generale è corretto ...

I am trying to implement a ray casting (or ray tracing) algorithm. It is clear for me how to project a set of point or solid objects to a plane from a given viewpoint, and to reduce them to screen integer coordinates. But what I really don't know how to implement is the inverse projection, from the screen plane to object space. Can you help me ?

Salve ragazzi, data la matrice A: $ ( ( 4 , -2 , -1 ),( 5 , -2 , -1 ),( -2 , 1 , 1 ) ) $ come faccio a capire subito,facendo pochi calcoli,che la matrice non è diagonalizzabile per similitudine? Voglio capire se c'è un metodo o comunque un'osservazione abbastanza veloce che mi permette di affermare a priori, la non diagonalizzabilità.Grazie a tutti

Mi sono imbattuto in questo esercizio, di cui non capisco la seconda parte. Sia $V=C^0("[0,1]") $ lo spazio vettoriale delle funzioni continue su $[0,1]$. Sia $W=span{1,x,x^2}$ il sottospazio $W$ dei polinomi di grado minore o uguale a $2$, posto in $W$ il prodotto scalare: $v(x)*w(x)=int_0^1v(x)*w(x)dx$ 1) determinare una base ortonormale per $W$ 2) Dato l'elemento $v(x)=e^x$ , $v(x) in V$, trovare la sua proiezione ...

Salve a tutti, ho bisogno di una mano a risolvere questo quesito. Quale omomorfismo $RR^3 -> RR^3$ manda il triangolo di vertici $(0,0,0),\ (1,1,1),\ (-1,0,1)$ nel triangolo di area maggiore ?

Salve, durante la prova scritta di matematica discreta uno degli esercizi richiedeva la risoluzione di un sistema in forma parametrica, la traccia è la seguente: $ { ( x+y+z+t=2 ),( 2x+3y=3 ):} $ io tenendo conto di questa soluzione del prof: ho aggiunto al sistema l'equazione z=z $ { ( x+y+z+t=2 ),( 2x+3y=3 ), (z=z):} $ e ho risolto per sostituzione arrivando a $ { ( x= 1-3t),( y=2t-1 ),( z=z ):} $ È corretta come soluzione?

Ciao a tutti! Avrei bisogno di aiuto col seguente esercizio: Assegnati i vettori di $R^4$ linearmente indipendenti $w_1=(1,0,0,1)$, $w_2=(2,1,0,1)$, $w_3=(1,-2,1,0)$ determinare le equazioni parametriche e cartesiane dei seguenti sottospazi: $W_1=mathcal{L}(w_1)$; $W_2=mathcal{L}(w_1,w_2)$; $W_3=mathcal{L}(w_1,w_2,w_3)$ (Con "$mathcal{L}$" intendo la combinazione lineare) per $W_1$ è giusto dire che la equazione parametrica è ${ ( x=lamda ),( y=0 ),( z=0 ),( t=lamda ):}$ o è meglio ...

Salve ragazzi ho un dubbio, sto provando a risolvere questo esercizio: data l'applicazione lineare R^3-->-R^2 definita da f(x,y,z)=(x-y-z,x+2z) determinare basi e dimensioni di ker f e Im f Per calcolare la base di Im f devo trovare,come mi ha suggerito un'utente , la matrice associata rispetto alla base canonica.In questo caso non riesco a capire se ,per il calcolo della matrice associata (che poi mi permetterà di individuare una base dell'immagine), occorre ...

Salve a tutti, mi sono imbattuto nel seguente problema: Data la matrice $A_n \in \mathcal{M}_{n-1,n-1}$ di elementi $ a_{ij}={ (1\qquad i\ne j),( i+2 \qquad i=j ):} $ determinare il comportamento della successione $c_n=\frac{\det(A_{n}) }{n!}$. Il mio approccio inizialmente è stato quello di cercare una formula chiusa per determinante di $A_n$ utilizzando opportunamente l'eliminazione gaussiana ma non riesco a venirne fuori sebbene sono quasi sicuro che la soluzione del problema preveda l'utilizzo di questo approccio.

Salve, non riesco a risolvere questo esercizio : sia f:M(2;R)--->R^2 l'applicazione lineare definita da f $ ( ( x , y ),( z , t ) ) $ = (t-x,z+y). Devo trovare la base e la dimensione di ker f e Im f. Procedo in questo modo : 1)risolvo il sistema lineare omogeneo ed estraggo due basi che dovrebbero essere quelle del nucleo : $ b=( ( 1, 0 ),( 0 , 1 ) ) b1=( ( 0, 1 ),( -1 , 0 ) ) $ a questo punto deduco che la dim ker f = 2, però applicando il teorema della nullità del rango la dimensione del sottospazio di partenza deve essere uguale ...

Ciao. Vorrei provare che l'inversa dell'operazione \( L_{ij}(m) \) descritta su https://en.wikipedia.org/wiki/Elementary_matrix#Row-addition_transformations è \( L_{ij}(-m) \). Ossia, voglio dimostrare che la matrice \( I+me_{ij} \), dove \( e_{ij} \) è la matrice che ha \( 1 \) in \( ij \) e \( 0 \) in ogni altra coordinata, ha per inversa la matrice \( I-me_{ij} \). Apparentemente ho già sbagliato tre volte i conti, perché \( \left(I+me_{ij}\right)\left(I-me_{ij}\right) \) mi dà come risultato \( I-m^2e_{ij}e_{ij} \), dove secondo termine non è ...

Sia $S={u_1, u_2, ..., u_k}$ un sistema di vettori. Valgono queste proposizioni: 1. Ogni vettore di $S$ dipende linearmente da $S$. 2. Il sistema $S$ è linearmente dipendente se e solo se almeno un suo vettore dipende dai rimanenti. Vorrei capire se ho interpretato bene queste due proposizioni. Se $S$ è linearmente dipendente allora un vettore che dipende da $S$ lo posso scrivere tramite più combinazioni lineari di vettori ...