Geometria nello spazio (R^3) piano contenente una retta e perpendicolare ad un altro piano
Sia π il piano di equazione cartesiana x − y − z = 0 e sia r la
retta di equazioni cartesiane x + 2y + 2 = 0 e x − z + 1 = 0.
Determinare una rappresentazione cartesiana del piano π′ contenente r e perpendicolare a π.
Bene ragazzi io so che devo scrivere l'equazione del fascio di piani avente come asse la retta r...
Dunque immagino sia:
x+2y+2+h(x-z+1)=0
Da cui
(1+h)x+2y+hz+2+h(?)
Da qui però non so proprio come andare avanti e non so neanche se sono giusti i calcoli...
qualche buon samaritano????
retta di equazioni cartesiane x + 2y + 2 = 0 e x − z + 1 = 0.
Determinare una rappresentazione cartesiana del piano π′ contenente r e perpendicolare a π.
Bene ragazzi io so che devo scrivere l'equazione del fascio di piani avente come asse la retta r...
Dunque immagino sia:
x+2y+2+h(x-z+1)=0
Da cui
(1+h)x+2y+hz+2+h(?)
Da qui però non so proprio come andare avanti e non so neanche se sono giusti i calcoli...
qualche buon samaritano????
Risposte
Anche con il semplice approccio logico si arriva alla conclusione, quindi te lo propongo.
Il piano $pi$ è composto da tutti i vettori perpendicolari a $(1,-1,-1)$ quindi il piano $pi^{\prime}$ vorrà avere questa direzione per essere perpendicolare a $pi$.
La retta $r$ in forma parametrica è $ {( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 2 ),( -1 ),( 2 ) )+( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
ovvero è la retta di direzione $(2,-1,2)$ che passa per il punto $(0,-1,1)$
Quindi il piano $pi^{\prime}$ dovrà avere entrambe le direzioni e passare per quel punto ovvero:
$pi^{\prime}: {( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 2 ),( -1 ),( 2 ) )+s( ( 1 ),( -1 ),( -1 ) )+( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Basta risolvere il sistema oppure notare che siamo in $R^3$ e che i punti del piano $pi^{\prime}$ sono i punti perpendicolari ad entrambe le direzioni, ergo basta fare il loro prodotto vettoriale per ottenere $(3,4,-1)$ e quindi il piano $3x+4y-z=d$. Per ricavare $d$ basta sostituire il punto e ottenere $d=-5$.
Quindi $pi^{\prime}=3x+4y-z+5=0$
Il piano $pi$ è composto da tutti i vettori perpendicolari a $(1,-1,-1)$ quindi il piano $pi^{\prime}$ vorrà avere questa direzione per essere perpendicolare a $pi$.
La retta $r$ in forma parametrica è $ {( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 2 ),( -1 ),( 2 ) )+( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
ovvero è la retta di direzione $(2,-1,2)$ che passa per il punto $(0,-1,1)$
Quindi il piano $pi^{\prime}$ dovrà avere entrambe le direzioni e passare per quel punto ovvero:
$pi^{\prime}: {( ( x ),( y ),( z ) ) = t( ( 2 ),( -1 ),( 2 ) )+s( ( 1 ),( -1 ),( -1 ) )+( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Basta risolvere il sistema oppure notare che siamo in $R^3$ e che i punti del piano $pi^{\prime}$ sono i punti perpendicolari ad entrambe le direzioni, ergo basta fare il loro prodotto vettoriale per ottenere $(3,4,-1)$ e quindi il piano $3x+4y-z=d$. Per ricavare $d$ basta sostituire il punto e ottenere $d=-5$.
Quindi $pi^{\prime}=3x+4y-z+5=0$
Grazie mille Bokonon sei stato davvero molto gentile e molto preciso...
Volevo chiederti però come è possibile che l'equazione parametrica della retta ti venga in quel modo.. quale incognita poni uguale a t?
Perché a me viene
x=-2t-2
y=t
z=-2t-1... cioè rette di direzione (-2,1,-2) e passante per (-2,0,-1)
è corretto lo stesso o sto sbagliando?
Volevo chiederti però come è possibile che l'equazione parametrica della retta ti venga in quel modo.. quale incognita poni uguale a t?
Perché a me viene
x=-2t-2
y=t
z=-2t-1... cioè rette di direzione (-2,1,-2) e passante per (-2,0,-1)
è corretto lo stesso o sto sbagliando?
E' la stessa cosa (tu hai posto $y=t$ mentre io $x=t$), alla fine la direzione è la medesima e qualsiasi punto che appartenga alal retta va bene.
Prova con la tua parametrizzazione così ti eserciti e troverai il medesimo risultato.
Prova con la tua parametrizzazione così ti eserciti e troverai il medesimo risultato.
Grazie Bokonon ti voglio bene <3
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo