Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Non capisco le soluzioni di un esercizio, qualcuno potrebbe gentilmente farmi capire
Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione \( n \) su un corpo \( \mathbb{K}\) e \( f: V \rightarrow V \) un endomorphismo. Diciamo che un sottospazio vettoriale \( U \subset V \) è invariante per \( f \) se \( f(U) \subset U \). Dimostra che gli autospazi propri di \( f^n = f \circ f \ldots \circ f \) sono invariantei per \( f \).
Soluzione: Sia \( \lambda \) un autovalore di \( f^n \) e \( v_0 \in ...
Scusatemi nuovamente ma di nuovo ci sono alcune cose che non ho capito in questa soluzione.
Sia \( \pi : \{1,\ldots,n\} \rightarrow \{1,\ldots,n\} \) biettivo. Sia \( f_{\pi} : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^{n} \) definita per \( f_{\pi} ((x_1,\ldots,x_n)^{t})=(x_{\pi(1)}, \ldots, x_{\pi(n)})^{t} \) Calcolare tutti gli autovalori e gli autospazi associati di \( f_{\pi} \).
Soluzione:
Per un autovettore \( v \) associato all'autovalore \( \lambda \) abbiamo \( \begin{vmatrix} \lambda ...
Quale trasformazione usare per ruotare i punti di un piano prima attorno all'asse Z, poi attorno all'asse X ?
Non ho ben chiaro come si sviluppa in pratica questa sommatoria nel caso del tensore cartesiano del terzo ordine:
$T'_{hk$=$\sum_{i,j=1}^3gamma_h^i gamma_k^j$$T_{ij}$
Es.:
$T'_{23$ = $gamma_2^1 gamma_3^1$ $T_{11}$ + $gamma_2^2 gamma_3^2$ $T_{22}$ + $gamma_2^3 gamma_3^3$ $T_{33}$
ho fatto la somma sugli indici ripetuti $i,j$
oppure diventa
$T'_{23$ = $gamma_2^1 gamma_3^1$ $T_{11}$ + $gamma_2^2 gamma_3^2$ $T_{22}$ + ...
Il mio prof di algebra ha spiegato brevemente una cosa, che mi ha lasciato un po' perplesso, per calcolare il polinomio caratteristico di una matrice. Ha detto appunto che calcolare il determinante con lo sviluppo di Laplace di \( \det ( A-\lambda I_n ) \) con matrici molto grandi diventa sconveniente, perché per una matrice \( A \in K^{n \times n} \) bisogna fare almeno \(n! \) operazioni aritmetiche dentro \( K \), dove \( K \) è il campo su cui è costruito lo spazio vettoriale. E ad esempio ...
Determinare la matrice $ A $ associata all’endomorfismo $ f: R^3 -> R^3 $ tale che $ f(x, y, z) = (4x + 3y - 3z, 6x + y − 3z, 12x + 6y − 8z) $ nel riferimento $ R = (1, 0, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1) $.
Salve volevo sapere se i passaggi sono giusti:
- La matrice associata è $ A = R^-1 * B * R $
Dove $ B = ((4,3,-3),(6,1,-3),(12,6,-8)) $ ed $ R = ((1, 0, 1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)) $
- Il $ det(R) = 1 $ quindi è invertibile poiché diverso da zero;
la matrice inversa la trovo con i sviluppi di Laplace e viene $ R = ((1, 0, -1),(0, 1, 0),(0, 0, 1)) $
A questo punto, avendo trovato l'inversa, applico la formula in ...
Buongiorno a tutti, ho difficoltà con le matrici associate le cui dimensioni dello spazio vettoriale cambiano. Farò un esempio per intenderci. Non ho difficoltà nel calcolare la matrice associata delle due basi:
$ R = (1, 0, 0),(0, 1, 0),(0, 0, 1) $, $ R' = (0, 1, 1),(1, 0, 1),(0, 1, 0) $
semplicemente le coordinate di
$ f(1, 0, 0) = -1* (0, 1, 1) + 1*(1, 0, 1) + 1*(0, 1, 0) $
e lo stesso vale per i seguenti vettori della prima base
Il problema si crea quando le dimensioni sono diverse del tipo:
$ B = (1, 0, 1),(0, 0, 1),(0, 1, 1) $ e $ B' = (1, 1+x, -x^2, x + x^3) $
in questo caso ho difficoltà perché ...
Ciao, voi come rispondereste a questa domanda:
Sia v=(1,2,1,1). Determinare se esistono tre vettori v1 v2 v3 linearmente indipendenti tali che {v,v1,v2,v3}
Sia insieme libero ma L(v) + L(v1,v2,v3) NON sia diretta
Quali sono i prerequisiti per affrontare con successo un corso di algebra lineare?
Buongiorno, spero di essere nella sezione corretta per fare questa domanda.
Sto studiando il procedimento di Gram-Schmidt applicato agli spazi di funzione e non ai vettori. Ebbene, non mi é chiaro nel procedimento, che allego, il perché operare in questo modo ci permetta di trovare una base ortonormale, né la necessità di passare attraverso una funzione ausiliaria.
Inoltre in particolare non capisco perché venga detto che evidentemente $ || \varphi2 || = 1 $
né é chiaro come mai possa dire ...
Sono un po' confuso rispetto a una definizione che in apparenza mi sembra contraddittoria, probabilmente dovuto alla lingua francese.
Sia \(K \) un campo ("corps" in francese) e sia \( x \not\in K\), \( x \in R\supseteq X \), dove \( R \) è un dominio d'integrità (anneau intègre), \( x \) è chiamato un "indétermineé" (non trovo una traduzione italiana e non so cos'è),
se \( a_0 + a_1x + \ldots + a_n x^n = 0 \) allora \( a_i \in K \) implica \( a_i =0\), \(i=1,\ldots,n \)
Un polinomio è un ...
Qualcuno sarebbe in grado di aiutarmi nell'darmi l'idea iniziale per poter dimostrare quanto richiesto
Sia \( n \geq 0 \) un numero intero, \( K \) un campo, \( x_0, x_1 , \ldots, x_n \in K\), e \( A \in K^{(n+1)\times (n+1)} \) la matrice definita da
\[ A=\begin{pmatrix}
1& x_0 &\cdots &x_0^n \\
1 & x_1 & \cdots &x_1^n \\
\vdots & \vdots& \vdots &\vdots \\
1 &x_n &\cdots &x_n^n
\end{pmatrix} \]
Dimostrare che \( \det(A)=\prod\limits_{n\geq j>i\geq0} (x_j-x_i) \)
Io so che la ...
Fissato un riferimento cartesiano di uno spazio euclideo di dimensione 3, si considerino i punti $ A(1, 0, 1) $
$ B(2, 2, −1) $ $ C(1, 1, −1) $. Dire se i vettori AB e AC sono ortogonali. In caso di risposta negativa, determinare
le coordinate di un punto D tale che AD sia ortogonale a AB.
Volevo un piccolo confronto per sapere se il ragionamento fila:
$ AB (1,2,-2) $
$ AC (0, 1, -2) $
Il mio dubbio nel calcolo delle componenti dei vettori dati dai punti... non sono sicuro che si ...
Buongiorno a tutti!
Sto studiando Geometria Differenziale.
Qualcuno sa dirmi come provare l'esistenza di un sistema di riferimento globale (anche detto Frame) su un semi cono ($z>0$) in $R^3$?
Equazione del (semi) cono: $x^2+y^2-z^2=0$ con $z>0$
Se serve, riporto qui la definizione di "frame":
Sia $X$ una varietà differenziale di dimensione $n$.
Siano $V_1,..., V_n$, $n$ campi vettoriali da ...
Buon giorno a tutti,
è da un pò che non rimetto "mano" al tema delle rotazioni spaziali per cui perdonatemi se la domanda può essere banale.
Il quesito è il seguente:
conoscendo due vettori $v$ e $v'$ dove $v'=Rv$ posso risalire alla definizione della matrice di rotazione?
Nello specifico devo calcolare l'orientamento nello spazio di un piano rispetto ad un riferimento fisso, dunque conosco le equazioni dei due piani, i versori ecc ecc..
grazie per ...
Ciao a tutti, a breve ho l’esame di algebra lineare e mi stanno venendo un po’ di dubbi! Per esempio, non riesco a svolgere questo esercizio, qualcuno sarebbe così gentile da aiutarmi per favore?
Si consideri la matrice A=(2,2,0,0; 2,2,0,0; 0,0,3,1; 0,0,1,3) (li ho messi in riga). Sia inoltre X= x,y,z,t appartenente a R^3
Il punto che non riesco a risolvere è questo: “esiste un vettore non nullo X tale che q(x)=0? In caso affermativo si determini X, in caso negativo si spieghi il perché.”
Io ...
Ciao a tutti, ho questa domanda presa da un tema d’esame di algebra lineare e vorrei gentilmente sapere se la mia risposta potrebbe essere giusta:
Domanda: sia L:R^3—-> R^k un’applicazione lineare, determinare per quali valori di K l’applicazione può essere iniettiva, giustificando la risposta. Fornire un esempio esplicito di applicazione lineare L: R^3—> R^4 che NON sia iniettiva.
Io ho pensato che una possibile risposta possa essere questa: dato che è iniettiva se il kerL = {0}, ...
Salve ho difficoltà con questo esercizio:
Completare in una base dello spazio ambiente gli insiemi che tra i seguenti risultano essere
linearmente indipendenti:
(i) $ {(1, 0, 0, 1),(0, 1, 1, 0),(0, 1, 2, 0)} ⊆ R^4 $
(ii) $ {(0, 1, 0, 1),(1, 1, 0, 1),(2, 1, 0, 1)} ⊆ R^4 $
(iii) $ {x^2+ x, x + 1, 3 + x} ⊆ R^4[x] $
(iv) $ {(1, 1, 0),(1, 0, 1),(0, 1, 1)} ⊆ R^3 $
Per il completamento alla base io so che devo trovare un altro (od altri) vettore che sia linearmente indipendente a quelli già presenti. Per fare ciò uguaglio e tento con i vettori identità, facendo, per esempio:
a(1,0,0,1) + b(0,1,1,0) + ...
3. Determinare le matrici associate alle seguenti applicazioni lineari nei riferimenti fissati:
$ f1: a_0 + a_1x + a_2x^2 in R^2[x] -> ( ( a_0 , a_1-a_2 ),( a_2 , 0 ) ) in R_2,_2 $
$ R = (1,1+x, x+x^2), R' = ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $
Salve questo è il primo esercizio di tanti altri, vorrei provare a capire insieme questo per poi passare agli altri. Quello che credo di aver capito è che devo trovare i vettori immagine delle basi e poi costruirci una matrice giusto?
Sapendo che f e un’applicazione lineare di $ R^3 $ in $ R[x]_<=_3 $ tale che $ f((1, 0, 1)) −1 + 2x −x^2 + x^3 $ , $ f((1, 1, 2)) = 4x + x^3 $ e $ f((0, 0, 1)) = 2x − x^2 $ dire perché e come si può determinare f((a1, a2, a3)) per ogni vettore (a1, a2, a3) di $ R^3 $ . Inoltre:
1) Determinare l'immagine ed il nucleo di Kerf di f;
2) Dire se l'applicazione è iniettiva, suriettiva e perché;
3) scrivere la matrice associata a f nei riferimenti $ B = ((1, 0, 1),(0, 0, 1),(0, 1, 1)) $ e $ B' = (1, 1 + x, −x^2, x + x^3) $ .
- dire perché e come si ...
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