Matrice associata di applicazioni lineari a dei rferimenti

[giulio013]

3. Determinare le matrici associate alle seguenti applicazioni lineari nei riferimenti fissati:
$ f1: a_0 + a_1x + a_2x^2 in R^2[x] -> ( ( a_0 , a_1-a_2 ),( a_2 , 0 ) ) in R_2,_2 $
$ R = (1,1+x, x+x^2), R' = ( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $

Salve questo è il primo esercizio di tanti altri, vorrei provare a capire insieme questo per poi passare agli altri. Quello che credo di aver capito è che devo trovare i vettori immagine delle basi e poi costruirci una matrice giusto?

[Magma1]

"giulio0":Determinare le matrici associate alle seguenti applicazioni lineari nei riferimenti fissati:

$ f_1 : qquad RR[x]_(<=2) -> M_2(RR)$

$a_0 + a_1x + a_2x^2 |-> ( ( a_0 , a_1-a_2 ),( a_2 , 0 ) )$

$ R ={1,1+x, x+x^2}, qquad R' = {( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ) ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )} $

Immagino che $R, R'$ siano le basi rispetto alle quali occorre determinare la matrice associata.

"giulio0":
Quello che credo di aver capito è che devo trovare i vettori immagine delle basi e poi costruirci una matrice giusto?

Giusto Una matrice associata è un operatore che calcola le componenti dell'immagine dell'i-esimo vettore della base a dominio rispetto alla base a codominio

$[f(v_i)]_(R'), qquad v in R$

e dispone tali componenti in colonna.

[giulio013]

Ok il fatto è che non so ceh farmente della parte superiore $ f1:a_0+a_1x+a_2x^2 $ , mentre sotto credo che la base da considerare sia $ R $ ed $ R' $ la sua immagine no?

[Magma1]

"giulio0":Ok il fatto è che non so ceh farmente della parte superiore $a_0+a_1x+a_2x^2 $

Questo

$ a_0 + a_1x + a_2x^2 $

rappresenta un un generico polinomio in $RR[x]_(<=2)$ ([nota]Ovvero con grado al più $2$[/nota]) con $a_0, a_1, a_2 in RR$

"giulio0": mentre sotto credo che la base da considerare sia $ R $ ed $ R' $ la sua immagine no?

La generica immagine del generico polinomio è rappresentata dalla matrice

$( ( a_0 , a_1-a_2 ),( a_2 , 0 ) ) $

[giulio013]

Va bene e come collego la matrice generica alle due basi? (mi veniva un dubbio, ma il cambiamento di base è sollo un altro modo di chiamare la matrice associata?) Non so da dove iniziare ma provo dicendo:

considero i vettori della prima base $ R $ e li uguaglio ad $ R' $ , così da trovarmi le coordinate?

[Magma1]

Occorre cercare la matrice che manda i vettori dalla base $R$ alla base $R'$: per prima cosa, occorre scrivere i vettori di $R$ come C.L. di $R$ stesso; come si fa?

[giulio013]

riscrivo $ R $ così:

$ ( ( 1 , 0 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

e da qui devo ricavarmi le componenti che mandano da $ R $ a $ R' $ ?

$ f(1,0,0) = a(1,0) + b(1,0) $
$ f(1,1,0) = a(0,1) + b(1,0) $ e così via?

Provo anche con questa risposta perché non so che fare, veramente...

Che intendi per C.L.? Ho provato a fare questo:

$ f(1) = 1*a_0 + 0*a_1x + 0*a_2x^2 $
$ f(1 + x) = 1*a_0 + 1*a_1x + 0*a_2x^2 $
$ f(x + x^2) = 0*a_0 + 1*a_1x + 1*a_2x^2 $

e con le componenti faccio la matrice?

[Magma1]

"giulio0":
Che intendi per C.L.?

Niente, mi sono espresso male. Riscrivo l'applicazione:

$ a_o + a_1x + a_2x^2 |-> ( ( a_0 , a_1-a_2 ),( a_2 , 0 ) ) $

$ R ={1,1+x, x+x^2} $

Per $1$ si ha $a_o=1, a_1=a_2=0$, quindi $f(1)=((1,0),(0,0))$
Per $1+x$ si ha $a_o=a_1=1, a_2=0$ quindi $f(1+x)=((1,1),(0,0))$
Per $x+x^2$ si ha $a_1=a_2=1, a_o=0$ quindi $f(x+x^2)=((0,0),(1,0))$

Ora, queste immagini devono essere espresse come combinazioni lineari della base $R' = {( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) ) , ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ), ( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )} $.

Ade esempio

$f(1)=((1,0),(0,0))=1cdot( ( 1 , 1 ),( 0 , 0 ) )-1cdot ( ( 0 , 1 ),( 1 , 0 ) ) +1cdot( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ) ) -1cdot( ( 0 , 0 ),( 0 , 1 ) )$

Quindi

$M_(R,R')(f)=((1,*,*),(-1,*,*),(1,*,*),(-1,*,*))$

[giulio013]

gentilissimo