Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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In un triangolo rettangolo, la somma delle tangenti degli angoli acuti vale $25/12$.Sapendo che l'ipotenusa è lunga $15cm$, determina la lunghezza dell'altezza ad essa relativa.
Un altro simpatico esercizio.
Sia G un gruppo abeliano (notazione additiva) che sia anche spazio metrico con distanza d, in modo tale che per ogni $a,b \in G$ si abbia $d(a,b)=d(a-b,0)$.
Mostrare che:
a) Se esiste un punto aperto allora G è discreto (ovvero la topologia è quella discreta).
b) Se G è completo e non discreto allora non è numerabile.
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Studente Anonimo
22 ott 2007, 22:16
Ciao a tutti! Mi trovo quest'anno, per la prima volta, ad affrontare approfonditamente topologia.
Sto cercando di risolvere il seguente esercizio, ma ho problemi ad impostarlo, qualcuno potrebbe guidarmi sulla via giusta? Grazie mille!
L'esercizio è il seguente:
Provare che sono equivalenti:
i) Y è uno spazio di Hausdorff (T2)
ii) la diagonale $A={(y,y) in YxY}$ è chiusa in $YxY$
iii) Per ogni spazio topologico X, ogni sottoinsieme denso $D sube X$ ($bar D=X$) e ...
Non riesco a dimotrare che dati $N,N_1,N_2$ $A$-moduli se la sequenza $0 rightarrow Hom_A(M,N_1) rightarrow Hom_A(M.N) rightarrow Hom_A(M,N_2)$ è esatta per ogni $A$-modulo $M$, allora anche la sequenza $0 rightarrow N_1 rightarrow N rightarrow N_2$ è esatta. Ho dimostrato l'implicazione inversa ma questa non riesco a farla!
Altro esercizio di topologia!
Devo dimostrare che dati $X, Y$ spazi topologici compatti allora $X xx Y$ è compatto.
Si tratta del teorema di Tychonoff nel caso di soli due spazi.
Ho una traccia di quella che dovrebbe essere la dimostrazione: considerare un ricoprimento aperto di $X xx Y$. $AA x in X$ mostrare che c'è un sottoricoprimento finita di $ {x} xx Y$. Utilizzare la proprietà che dice che una mappa (la proiezione immagino) ...
Vorrei sottoporre all'attenzione del forum il seguente quesito:
Si voglia calcolare l'equazione della retta passante per i due punti $P_0=( 3,-1,1)$ , $P_1=(4,2,-3)$. Come vettore direzionale si può prendere $bb{v}$=$P_0P_1$=(1,3,-4).
L'equazione parametrica vettoriale è dunque
(x,y,z)=(3,-1,1)+t(1,3,-4)
Le equazioni scalari sono:
x=3+t
y=-1+3t
z=1-4t
Quelle cartesiane:
x-3/1=y+1/3=z-1/-4
E fino a questo punto mi è tutto chiaro.
Poi
Questa retta è ...
Perdonate la banlità della mia domanda, ma anche $RR$ è uno spazio vettoriale? A me sembra di sì: mi son flesciato da solo o è così?
ciao a tutti ragazzi! avrei qualche problema con alcuni esercizi di algebra lineare:
1) se io ho un'applicazione lineare F scritta pero senza la legge di corrispondenza del tipo F(1,1,1)=(1,1,1), F(1,0,-1)=(1,1,1), F(1,0,0)=(-1,0,-2) e devo calcolare l'antiimmagine di (1,1,1) io come faccio? xke se avessi la legge allora basta porla uguale a (1,1,1) ma se ho l'applicazione definita come sopra io posso trovarmi una combinazione lineare dell'immagine di quei tre vettori e porla uguale al ...
pensando alle applicazioni lineari e multilineari mi è venuto un piccolo dubbio...
un' applicazione lineare $f: V to W $ con V e W spazi vettoriali su un campo K, gode di tutte le proprietà della linearità.
un' applicazione multilineare o n-lineare $ g:V_1xV_2....xV_n to K$ con $V_i $ spazi vettoriali, è lineare su ogni componente.
ora il mio dubbio (che può essere anche una sciocchezza) sta in queste definizioni...
infatti se prendo n=1 ho una funzione lineare ...
Sono assegnati in $Q[x]$ i quattro vettori: $x-1, x+1, x^2, x^3-x^2$ Verificare che i quattro vettori formano una base del sottospazio vettoriale $Q[x]3$ dei polinomi $Q[x]$ di grado al più 3! Help me! Grazie anticipatamente
Da un post di un ex-utente:
Spesso agli studenti dei primi anni delle superiori si spiega che cos'e' (o meglio come si calcola) un determinante di ordine 2 o 3, e poi si fa vedere come si risolve un sistema lineare usando la regola di Cramer. Si dice loro: prendete i coefficienti del sistema, calcolatene il determinante, poi se questo e' diverso da zero sostituite i termini noti nella prima colonna del determinante, cambiando il segno, ecc., e voila' la soluzione!
Credete che in questo ...
Un'idea che ha stravolto il modo in cui guardo agli insiemi.
Se X è un insieme, sappiamo bene che possiamo identificare parti di X, P(X), ovvero l'insieme dei suoi sottoinsiemi, con l'insieme $A=\{0,1\}^X$, ovvero l'insieme delle funzioni da X a {0,1}. Ora, se dotiamo l'insieme {0,1} dell'usuale struttura di anello, esso diventa un campo (il ben conosciuto campo con due elementi), quindi A diventa un anello, con somma e prodotto componente per componente, e di più, grazie a quanto abbiamo ...
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Studente Anonimo
25 ott 2007, 11:44
Qualche giorno fa mi è stato detto durante la lezione di Geometria 3 che l'iperbole vista con la topologia cofinita è connessa.
Innanzi tutto non riesco a dire neanche se l'iperbole è aperta con la topologia cofinita...poi nemmeno che sia connessa...qualcuno può aiutarmi??
Grazie mille
alloura...
sono mancato ad un paio di lezioni di geometria, on risultati
catastrofici...
un grosso problema risiede nella dimostrazione di questa proposizione=
" La matrice quandrata A è invertibile solo e solo se il suo determinate è diverso da 0 ".
a questo punto la si fa una dimostrazione da destra verso sinistra , e una
da sinistra verso destra [doppia implicazione].
Il problema è il prof. la seconda parte la dimostra sperimentalmente cioè
moltiplicando A * A(alla meno ...
Ciao a tutti
Date 2 rette sghembe nello spazio che non si intersecano in nessun punto, ma una passa sopra l'altra. Immaginiamo di mettere le 2 rette sotto una pressa e di schiacciarle su un piano. A questo punto le 2 rette si intersecano.
Come trovo le coordinate del punto di intersezione sapendo le equazioni parametriche delle 2 rette nello spazio?
Qualcuno sa consigliarmi un testo da consultare o può indicare i passaggi fondamentali per dimostrare la formula del volume della sfera unitaria di $RR^n$:
$alpha(n)=$ volume della sfera unitaria di $RR^n=\frac{pi^(n/2)}{Gamma(n/2+1)}$?
Il fatto che nel calcolo del volume sia coinvolta la funzione $Gamma$ di Eulero è abbastanza insolito e per questo la questione mi interessa.
Oh, salve.
Questo è a rigore il primo argomento che apro in questo forum
Volevo sciogliermi un dubbio che mi opprime da oramai troppo tempo.
Sia $(X,tau)$ spazio topologico, e sia $B$ una base di aperti. Supponiamo che ogni volta che $X= \cup_{i \in I}U_i$, con $U_i \in B$ per ogni $i \in I$, esista $J \subseteq I$ finito tale che $X = \cup_{j \in J}U_j$. Domanda: è $X$ quasi-compatto?
(Non so se questo linguaggio è universale: per me uno ...
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Studente Anonimo
2 ott 2007, 20:37
ciao a tutti, dovrei risolvere quest'equazione matriciale (già trasformata),
$((2,-1,-1),(-1,0,5))((vec x_1),(vec x_2),(vec x_3))=((-2,5,-8,-1),(6,-7,7,9))$
è già ridotta così. purtroppo non riesco a scrivere la matrice completa del sistema quì (A|B), e so quanto è odioso fare matrici in mathml, qualcuno per favore potrebbe dirmi i passaggi da fare? so che devo porre un x uguale ad un parametro, perchè ci sono più incognite che equazioni, ma quando i termini noti sono matrici (vettori in questo caso) non ci capisco più niente.
"è sempre possibile trovare un numero finito di generatori linearmente indipendenti?
vedremo che in qualche caso non è possibile trovare un numero finito di generatori. Quindi non è detto che in V esista una base (che qui è da intendere "base finita"). Ma quando esiste una base, tutto funzione come in $R^n$ "
alla frase in grassetto non riesco ad attribuire un significato corretto, può essere che invece che funzione sia un funziona?
Salve a tutti mi sto preparando per un esame, e mi sono imbattuto in questo quesito a cui non riesco a dare risposta.
Sia A una matrice simmetrica.
(a) E' vero che se A è definita positiva, allora aii > 0 per ogni
i = 1; : : : ; n ?
Non capisco come devo procedere
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