Topologia cofinita e connessione
Qualche giorno fa mi è stato detto durante la lezione di Geometria 3 che l'iperbole vista con la topologia cofinita è connessa.
Innanzi tutto non riesco a dire neanche se l'iperbole è aperta con la topologia cofinita...poi nemmeno che sia connessa...qualcuno può aiutarmi??
Grazie mille
Innanzi tutto non riesco a dire neanche se l'iperbole è aperta con la topologia cofinita...poi nemmeno che sia connessa...qualcuno può aiutarmi??
Grazie mille
Risposte
Se non ricordo male, la topologia cofinita di un insieme X è quella in cui gli aperti sono i complementari degli insiemi finiti, più il vuoto.
In tal caso se X è infinito gli aperti sono tutti densi (perché l'unione di due insiemi finiti A e B è ancora un insieme finito, quindi $(X-A) \cap (X-B) = X-(A \cup B)$ è non vuoto essendo X infinito). Quindi se Y è sottoinsieme infinito di X, esso è connesso. E credo che valga pure il viceversa.
In tal caso se X è infinito gli aperti sono tutti densi (perché l'unione di due insiemi finiti A e B è ancora un insieme finito, quindi $(X-A) \cap (X-B) = X-(A \cup B)$ è non vuoto essendo X infinito). Quindi se Y è sottoinsieme infinito di X, esso è connesso. E credo che valga pure il viceversa.
Giustissima come al solito l'osservazione di Martino.
Posso postare una dimostrazione del caso particolare? Ormai la stavo scrivendo... (Se è sbagliata o ridondante, cancello...)
Io ragionerei così: un'iperbole $ccI$ è aperta nella topologia cofinita se e solo se $RR^2 $\ $ ccI$ è un insieme finito: evidentemente non è così.
Inoltre, se l'iperbole non fosse connessa, esisterebbero due aperti $A_1$ e $A_2$ della topologia cofinita che la sconnetterebbero.
Ciò significherebbe che $ccI=A_1 uu A_2$, con $A_1 nn A_2= O/ $.
Allora, $RR^2 $\ $ ccI=RR^2 $\ $ (A_1 uu A_2)=$( $ RR^2 $\ $ A_1 $) $nn $ ( $ RR^2$ \ $A_2$).
Ora, poichè $A_1$ e $A_2$ aperti, $RR^2$ \ $A_1$ e $RR^2$ \ $A_2$ sarebbero finiti e quindi anche $RR^2 $\ $ ccI=$( $ RR^2 $\ $ A_1 $) $nn $ ( $ RR^2$ \ $A_2$) sarebbe finito. Ciò è assurdo.
EDIT: Ma forse è più corretto ed elegante quanto ha scritto Martino... in fondo il mio ragionamento è uguale, ma meno ricco. Che faccio cancello?
Posso postare una dimostrazione del caso particolare? Ormai la stavo scrivendo... (Se è sbagliata o ridondante, cancello...)
Io ragionerei così: un'iperbole $ccI$ è aperta nella topologia cofinita se e solo se $RR^2 $\ $ ccI$ è un insieme finito: evidentemente non è così.
Inoltre, se l'iperbole non fosse connessa, esisterebbero due aperti $A_1$ e $A_2$ della topologia cofinita che la sconnetterebbero.
Ciò significherebbe che $ccI=A_1 uu A_2$, con $A_1 nn A_2= O/ $.
Allora, $RR^2 $\ $ ccI=RR^2 $\ $ (A_1 uu A_2)=$( $ RR^2 $\ $ A_1 $) $nn $ ( $ RR^2$ \ $A_2$).
Ora, poichè $A_1$ e $A_2$ aperti, $RR^2$ \ $A_1$ e $RR^2$ \ $A_2$ sarebbero finiti e quindi anche $RR^2 $\ $ ccI=$( $ RR^2 $\ $ A_1 $) $nn $ ( $ RR^2$ \ $A_2$) sarebbe finito. Ciò è assurdo.
EDIT: Ma forse è più corretto ed elegante quanto ha scritto Martino... in fondo il mio ragionamento è uguale, ma meno ricco. Che faccio cancello?
"amel":
Giustissima come al solito l'osservazione di Martino.
Posso postare una dimostrazione del caso particolare? Ormai la stavo scrivendo... (Se è sbagliata o ridondante, cancello...)
Io ragionerei così: un'iperbole $ccI$ è aperta nella topologia cofinita se e solo se $RR^2 $\ $ ccI$ è un insieme finito: evidentemente non è così.
Inoltre, se l'iperbole non fosse connessa, esisterebbero due aperti $A_1$ e $A_2$ della topologia cofinita che la sconnetterebbero.
Ciò significherebbe che $ccI=A_1 uu A_2$, con $A_1 nn A_2= O/ $.
Allora, $RR^2 $\ $ ccI=RR^2 $\ $ (A_1 uu A_2)=$( $ RR^2 $\ $ A_1 $) $nn $ ( $ RR^2$ \ $A_2$).
Ora, poichè $A_1$ e $A_2$ aperti, $RR^2$ \ $A_1$ e $RR^2$ \ $A_2$ sarebbero finiti e quindi anche $RR^2 $\ $ ccI=$( $ RR^2 $\ $ A_1 $) $nn $ ( $ RR^2$ \ $A_2$) sarebbe finito. Ciò è assurdo.
EDIT: Ma forse è più corretto ed elegante quanto ha scritto Martino... in fondo il mio ragionamento è uguale, ma meno ricco. Che faccio cancello?
no no lascia...grazie
"amel":
EDIT: Ma forse è più corretto ed elegante quanto ha scritto Martino... in fondo il mio ragionamento è uguale, ma meno ricco. Che faccio cancello?
Ma scherzi? Credo sia più ricco il tuo, hai messo più dettagli
Ciao.
però potrei dire che i rami dell'iperbole sono 2 aperti? a quel punto visto che nella cofinita l'intersezione di 2 aperti è sempre non vuota avrei concluso sulla connessione dell'iperbole stessa...
"Matteozio":
però potrei dire che i rami dell'iperbole sono 2 aperti?
E perchè mai? Ti sembrano co-finiti?
"amel":
[quote="Matteozio"]però potrei dire che i rami dell'iperbole sono 2 aperti?
E perchè mai? Ti sembrano co-finiti?
[/quote]sinceramente nn so che pesci prendere, perchè il prof mi ha fatto un esempio considerando i rami dell'iperbole ma quando si parla di topologia il cervello mi va in panne...
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