Spazi vettoriali con i polinomi!
Sono assegnati in $Q[x]$ i quattro vettori: $x-1, x+1, x^2, x^3-x^2$ Verificare che i quattro vettori formano una base del sottospazio vettoriale $Q[x]3$ dei polinomi $Q[x]$ di grado al più 3! Help me! Grazie anticipatamente
Risposte
Se sottrai il primo dal secondo e dividi per 2, trovi 1.
Se sommi i primi due e dividi per 2, trovi x.
Il terzo è $x^2$.
Se sottrai il terzo dal quarto, trovi $x^3$.
Quindi lo spazio generato da quei quattro contiene $1,x,x^2,x^3$, e quindi consiste di tutti i polinomi di grado al più 3. Poiché tale spazio ha dimensione 4 e quei quattro vettori generano, essi formano una base.
Se sommi i primi due e dividi per 2, trovi x.
Il terzo è $x^2$.
Se sottrai il terzo dal quarto, trovi $x^3$.
Quindi lo spazio generato da quei quattro contiene $1,x,x^2,x^3$, e quindi consiste di tutti i polinomi di grado al più 3. Poiché tale spazio ha dimensione 4 e quei quattro vettori generano, essi formano una base.
Mi stai dicendo che bastava fare un po di somme e divisioni per arrivare a vedere che quei 4 vettori mi possono portare sia a 1 che a x...$x^2 e x^3$ ? Quindi poi moltiplicati x degli scalari mi danno la totalità di Q[x]!? Ho capito??? Comunque non ci sarebbe un metodo per dire che i vettori di partenza sono generatori senza passare x 1,x,x^2 ed x^3? Mi spiego meglio....Non c'è un'altra strada?
I 4 vettori non sono solo dei generatori ma sono anche una base del sottospazio $Q[x]3 $ dei polinomi di grado $<= 3 $.
Che siano una base lo si può vedere verificando che sono linearmente indipendenti, applicando ad esempio la definizione di vettori lin dip o indip :
$alpha(x-1)+beta(x+1) +gamma x^2 +delta(x^3-x^2) =0 $
Se è verificata solo e soltanto per $alpha = beta = gamma = delta =0 $ allora i vettori sono lin indip e infatti lo sono .Esiste Un altro metodo ancora + veloce , ma implica la conoscenza del rango di una matrice e quindi del calcolo del detrminante di una matrice .
Considerando che siamo nel sottospazio di dimensione 4 dei polinomi di grado $ <= 3 $ i vettori possono essere scritti così :
$(0,0,1,-1)$ ; $(0,0,1,1)$;$(0,1,0,0)$ ; $(1,-1,0,0)$ .
Per ogni vettore viene indicato per primo l'eventuale coefficiente del termine di grado massimo , cioè di $x^3 $ , poi quello del termine $x^2 $ etc .
Accosto ora verticalmente i 4 vettori in una matrice $4 *4 $ ; se la matrice ha rango 4 , cioè se il suo determinante è $ne 0 $ allora i 4 vettori sono lin. indip.
La matrice è $ ((0,0,0,1) ,(0,0,1,-1),(1,1,0,0), (-1,1,0,0))$ .in effetti la matrice ha rango 4 .
Spero di non averti confuso le idee
P.S. naturalemnte il metodo di Martino è il più veloce ma ci vuole un po' di occhio per vederlo.
Che siano una base lo si può vedere verificando che sono linearmente indipendenti, applicando ad esempio la definizione di vettori lin dip o indip :
$alpha(x-1)+beta(x+1) +gamma x^2 +delta(x^3-x^2) =0 $
Se è verificata solo e soltanto per $alpha = beta = gamma = delta =0 $ allora i vettori sono lin indip e infatti lo sono .Esiste Un altro metodo ancora + veloce , ma implica la conoscenza del rango di una matrice e quindi del calcolo del detrminante di una matrice .
Considerando che siamo nel sottospazio di dimensione 4 dei polinomi di grado $ <= 3 $ i vettori possono essere scritti così :
$(0,0,1,-1)$ ; $(0,0,1,1)$;$(0,1,0,0)$ ; $(1,-1,0,0)$ .
Per ogni vettore viene indicato per primo l'eventuale coefficiente del termine di grado massimo , cioè di $x^3 $ , poi quello del termine $x^2 $ etc .
Accosto ora verticalmente i 4 vettori in una matrice $4 *4 $ ; se la matrice ha rango 4 , cioè se il suo determinante è $ne 0 $ allora i 4 vettori sono lin. indip.
La matrice è $ ((0,0,0,1) ,(0,0,1,-1),(1,1,0,0), (-1,1,0,0))$ .in effetti la matrice ha rango 4 .
Spero di non averti confuso le idee
P.S. naturalemnte il metodo di Martino è il più veloce ma ci vuole un po' di occhio per vederlo.
No....anzi mi hai dato le soluzioni che (speravo)............grazie ad entrambi! 
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