Gruppo metrico.
Un altro simpatico esercizio.
Sia G un gruppo abeliano (notazione additiva) che sia anche spazio metrico con distanza d, in modo tale che per ogni $a,b \in G$ si abbia $d(a,b)=d(a-b,0)$.
Mostrare che:
a) Se esiste un punto aperto allora G è discreto (ovvero la topologia è quella discreta).
b) Se G è completo e non discreto allora non è numerabile.
Sia G un gruppo abeliano (notazione additiva) che sia anche spazio metrico con distanza d, in modo tale che per ogni $a,b \in G$ si abbia $d(a,b)=d(a-b,0)$.
Mostrare che:
a) Se esiste un punto aperto allora G è discreto (ovvero la topologia è quella discreta).
b) Se G è completo e non discreto allora non è numerabile.
Risposte
Molto carino! La (a) è praticamente immediata. Quanto alla (b), si ha $G = \cup_{x \in G} \{x\}$, per cui se $G$ è numerabile e completo qualche $\{x\}$ ha interno non vuoto (per il teorema di Baire), cioè è aperto, donde segue per la (a) che $G$ e' discreto.
Ho visto solo adesso che qualcuno ha risposto qui 
Bravo, si vede che sei analista.. a me è risultato difficile pensare a Baire, ...
Ciao ciao.
Bravo, si vede che sei analista.. a me è risultato difficile pensare a Baire, ...
Ciao ciao.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo