Compattezza
Oh, salve.
Questo è a rigore il primo argomento che apro in questo forum
Volevo sciogliermi un dubbio che mi opprime da oramai troppo tempo.
Sia $(X,tau)$ spazio topologico, e sia $B$ una base di aperti. Supponiamo che ogni volta che $X= \cup_{i \in I}U_i$, con $U_i \in B$ per ogni $i \in I$, esista $J \subseteq I$ finito tale che $X = \cup_{j \in J}U_j$. Domanda: è $X$ quasi-compatto?
(Non so se questo linguaggio è universale: per me uno spazio quasi-compatto è uno spazio tale che da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, e uno spazio compatto è uno spazio quasi-compatto e di Hausdorff).
La risposta è sì, ma non riesco ad immaginarmi un motivo.
Voi che ne pensate?
Questo è a rigore il primo argomento che apro in questo forum
Volevo sciogliermi un dubbio che mi opprime da oramai troppo tempo.
Sia $(X,tau)$ spazio topologico, e sia $B$ una base di aperti. Supponiamo che ogni volta che $X= \cup_{i \in I}U_i$, con $U_i \in B$ per ogni $i \in I$, esista $J \subseteq I$ finito tale che $X = \cup_{j \in J}U_j$. Domanda: è $X$ quasi-compatto?
(Non so se questo linguaggio è universale: per me uno spazio quasi-compatto è uno spazio tale che da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, e uno spazio compatto è uno spazio quasi-compatto e di Hausdorff).
La risposta è sì, ma non riesco ad immaginarmi un motivo.
Voi che ne pensate?
Risposte
"Martino":
Oh, salve.
Questo è a rigore il primo argomento che apro in questo forum
e io in tuo onore mi sono preso una sedia e ho "tirato giù" il mio vecchio beneamato Kelley
"Martino":
Volevo sciogliermi un dubbio che mi opprime da oramai troppo tempo.
Sia $(X,tau)$ spazio topologico, e sia $B$ una base di aperti. Supponiamo che ogni volta che $X= \cup_{i \in I}U_i$, con $U_i \in B$ per ogni $i \in I$, esista $J \subseteq I$ finito tale che $X = \cup_{j \in J}U_j$. Domanda: è $X$ quasi-compatto?
La risposta è sì, ma non riesco ad immaginarmi un motivo.
Voi che ne pensate?
pag. 139 (edizione del 1957): è vero
non solo, sempre a pag. 139 c'è il Teorema di Alexander: la roba funge anche per una sottobase!
e c'è anche la dim
sia per una base, ed è "straightforward"
che del teorema di Alexander, e qui la dim è più elaborata
"Martino":
(Non so se questo linguaggio è universale: per me uno spazio quasi-compatto è uno spazio tale che da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, e uno spazio compatto è uno spazio quasi-compatto e di Hausdorff).
a me sembra linguaggio d'antan
secondo me non si fa più questa distinzione
ma basta capirsi
"Fioravante Patrone":
a me sembra linguaggio d'antan
Un francesismo?
"Sandokan.":
[quote="Fioravante Patrone"]a me sembra linguaggio d'antan
Un francesismo?
[/quote]no, è mia zia
"Fioravante Patrone":
pag. 139 (edizione del 1957): è vero
Questo mi rincuora
non solo, sempre a pag. 139 c'è il Teorema di Alexander: la roba funge anche per una sottobase!
Lo immaginavo, sarebbe stato poco carino il contrario.
e c'è anche la dim
sia per una base, ed è "straightforward"
che del teorema di Alexander, e qui la dim è più elaborata
Per una base è "straightforward"? Per caso è anche veloce, rapida e indolore se riportata sul forum?
O magari conosci un sito dove posso trovarla?"Martino":
(Non so se questo linguaggio è universale: per me uno spazio quasi-compatto è uno spazio tale che da ogni ricoprimento aperto si può estrarre un sottoricoprimento finito, e uno spazio compatto è uno spazio quasi-compatto e di Hausdorff).
a me sembra linguaggio d'antan
secondo me non si fa più questa distinzione
ma basta capirsi
La distinzione credo sia legata a quella più "secolare" analisi - algebra: in geometria algebrica lo spettro di un dominio con la topologia di Zariski è di Hausdorff se e solo se il dominio è un campo (quindi l'ipotesi di separatezza è forte) e per converso, la quasi-compattezza vale sempre!
.. mentre in analisi, se non sbaglio, in generale si (sottointende che si) lavora con spazi di Hausdorff.
"Martino":
Per una base è "straightforward"? Per caso è anche veloce, rapida e indolore se riportata sul forum?
non solo copiato, pure tradotto dall'ainglish:
Abbiamo base $B$. Supponiamo che ogni ricopr aperto ha sottoric finito.
Pendiamo un qualsiasi ricoprimento aperto $C$ dello spazio $X$.
Sia $A$ la famiglia di tutti gli elem di $B$ che sono s.i. di qualche membro di $C$.
Poiché $B$ è una base, la famiglia $A$ è ricopr aperto di $X$ e quindi c'è sottoricopr aperto $A'$ di $A$.
Per ogni membro di $A'$ si può scegliere un elemento di $C$ che lo contiene, ed ecco un sottoricoprimento finito di $C$
"Martino":
.. mentre in analisi, se non sbaglio, in generale si (sottointende che si) lavora con spazi di Hausdorff.
ehm, io veramente mi sono guadagnato il pane (e il companatico) grazie a s.c.i. e simili, che proprio Hausdorff non sono
si vede che ero un analista degenere fin dall'inizio
"Fioravante Patrone":
Abbiamo base $B$. Supponiamo che ogni ricopr aperto ha sottoric finito.
Pendiamo un qualsiasi ricoprimento aperto $C$ dello spazio $X$.
Sia $A$ la famiglia di tutti gli elem di $B$ che sono s.i. di qualche membro di $C$.
Poiché $B$ è una base, la famiglia $A$ è ricopr aperto di $X$ e quindi c'è sottoricopr aperto $A'$ di $A$.
Per ogni membro di $A'$ si può scegliere un elemento di $C$ che lo contiene, ed ecco un sottoricoprimento finito di $C$
Maledizione
era facile.Grazie fattoriale (= Grazie!
)
Dipende c'è chi chiama compatti tutti gli spazi da cui da ogni ricoprimento d'aperti se ne estrae qualcuno finito, certo se è anche di Haursdoff valgono molte più cose:
i sottospazi compatti (di un compatto) sono tutti e soli i chiusi
un'applicazione continua di dominio uno spazio compatto è pure chiusa
in certe condizioni (spazio di Lindeloff) si ha che uno spazio è compatto se e solo se ogni insieme infinito ammette punti di accumulazione
forse altro che ora non ricordo
i sottospazi compatti (di un compatto) sono tutti e soli i chiusi
un'applicazione continua di dominio uno spazio compatto è pure chiusa
in certe condizioni (spazio di Lindeloff) si ha che uno spazio è compatto se e solo se ogni insieme infinito ammette punti di accumulazione
forse altro che ora non ricordo
Ma allora ho solo una domanda: quella canonica.
Questo basterebbe
Però per completezza metto anche la domanda: quando in analisi si dice "compatto" si sottointende "di hausdorff"? (a questo punto, immagino di no).
Lo chiedo perché:
- ho sempre visto il concetto di "unicità del limite" come inviolabile,
- ho sempre chiamato "compatto" uno spazio quasi compatto.
Questo basterebbe
Però per completezza metto anche la domanda: quando in analisi si dice "compatto" si sottointende "di hausdorff"? (a questo punto, immagino di no).
Lo chiedo perché:
- ho sempre visto il concetto di "unicità del limite" come inviolabile,
- ho sempre chiamato "compatto" uno spazio quasi compatto.
io su compatto/quasi compatto ho detto la mia "sensazione", ma può essere "biased" per molti motivi
l'osservazione più interessante da fare è che difficilmente ci saranno problemi
nel senso che in contesti "banali" si lavora in spazi di Hausdorff, e allora tu ed io (per capirci) li chiamiamo allo stesso modo
in contesti un poco più sofisticati, si spera che la gente si esprima in modo chiaro!
quanto all'unicità del limite, non capisco:
- cosa c'entra con la compattezza? Nulla!
- ti turba la non unicità? Pensa invece che bello, se il punto "$x_0$" non è di accumulazione, puoi anche dire che il limite in quel punto è un pesce, o il tuo gatto Barnaba. Non serve a niente, ma fa chic
l'osservazione più interessante da fare è che difficilmente ci saranno problemi
nel senso che in contesti "banali" si lavora in spazi di Hausdorff, e allora tu ed io (per capirci) li chiamiamo allo stesso modo
in contesti un poco più sofisticati, si spera che la gente si esprima in modo chiaro!
quanto all'unicità del limite, non capisco:
- cosa c'entra con la compattezza? Nulla!
- ti turba la non unicità? Pensa invece che bello, se il punto "$x_0$" non è di accumulazione, puoi anche dire che il limite in quel punto è un pesce, o il tuo gatto Barnaba. Non serve a niente, ma fa chic
"Fioravante Patrone":
quanto all'unicità del limite, non capisco:
- cosa c'entra con la compattezza? Nulla!
- ti turba la non unicità? Pensa invece che bello, se il punto "$x_0$" non è di accumulazione, puoi anche dire che il limite in quel punto è un pesce, o il tuo gatto Barnaba. Non serve a niente, ma fa chic
Mi turba la non unicità.
Sarà l'ora (non) tarda, ma non capisco che ci entri la non unicità coi punti non di accumulazione (ora mi ucciderai
).Il mio gatto non si chiama Barnaba, ma Giosuè
Sì ci sono spazi per cui l'unicità del limite può non valere addirittura è necessaria la condizione di Fréchet (spazio $T_1$) perché non vi siano successioni nello spazio convergenti a più di un limite.
Infatti sia (S,T) topologico non di Frechet, allora $EE x,y in S, x!=y: AA I(x), I(y)$ intorni di $x,y$ per cui $x in I(y) vv y in I(x)$. Allora la successione costante $x_n=x$ converge pure a $y$ in un siffatto spazio.
Mi scuso per la fretta se non è chiara la riscrivo meglio.
Infatti sia (S,T) topologico non di Frechet, allora $EE x,y in S, x!=y: AA I(x), I(y)$ intorni di $x,y$ per cui $x in I(y) vv y in I(x)$. Allora la successione costante $x_n=x$ converge pure a $y$ in un siffatto spazio.
Mi scuso per la fretta se non è chiara la riscrivo meglio.
"zorn":
Infatti sia (S,T) topologico non di Frechet, allora $EE x,y in S, x!=y: AA I(x), I(y)$ intorni di $x,y$ per cui $x in I(y) vv y in I(x)$. Allora la successione costante $x_n=x$ converge pure a $y$ in un siffatto spazio.
Fantastico.
Ora comincio a comprendere, grazie
@Martino
forse c'è stato un malinteso
io mi riferivo ai limiti dentro una struttura matematica familiare (i reali, qualche spazio dolce dolce)
mentre tu probabilmente avevi in mente spazi topologici esotici (vedi risposta di zorn)
comunque, vediamo di fare in modo che il tuo gatto Giosué sia limite di una funzione reale di variabile reale
ricopio, sostanzialmente, qui quanto usato qualche post fa:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 350#139350
la def di limite è fatta così (o, almeno, la si può vedere così):
dati:
$A \subseteq RR$, $f:A \to RR$, $x_0 \in RR$, $a \in {$Giosué, Barnaba, Fuffi$}$, diciamo che:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se... (e qui c'è la solita pappardella con epsilon e delta o loro varianti a seconda dei gusti)"
ora, quanto sopra definisce una proprietà dei quattro "enti matematici" $A,f,x_0,a$
mi sembra ovvio che ogni $a$ la soddisfa, se $x_0$ non è di accumulazione per $A$ (ex falso sequitur quodlibet)
quindi, anche Giosué, così come Barnaba e Fuffi
forse c'è stato un malinteso
io mi riferivo ai limiti dentro una struttura matematica familiare (i reali, qualche spazio dolce dolce)
mentre tu probabilmente avevi in mente spazi topologici esotici (vedi risposta di zorn)
comunque, vediamo di fare in modo che il tuo gatto Giosué sia limite di una funzione reale di variabile reale
ricopio, sostanzialmente, qui quanto usato qualche post fa:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 350#139350
la def di limite è fatta così (o, almeno, la si può vedere così):
dati:
$A \subseteq RR$, $f:A \to RR$, $x_0 \in RR$, $a \in {$Giosué, Barnaba, Fuffi$}$, diciamo che:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se... (e qui c'è la solita pappardella con epsilon e delta o loro varianti a seconda dei gusti)"
ora, quanto sopra definisce una proprietà dei quattro "enti matematici" $A,f,x_0,a$
mi sembra ovvio che ogni $a$ la soddisfa, se $x_0$ non è di accumulazione per $A$ (ex falso sequitur quodlibet)
quindi, anche Giosué, così come Barnaba e Fuffi
prego
inoltre la condizione di essere di Haursdoff è sufficiente perché ogni successione converga a un solo limite, ma dubito sia pure necessaria...
inoltre la condizione di essere di Haursdoff è sufficiente perché ogni successione converga a un solo limite, ma dubito sia pure necessaria...
Ho una questione spinosa riguardo la seguente affermazione (se ci tenete ad avere una buona opinione di me, non leggete il seguito ):
Ritengo ci sia la seguente ambiguità: quando si dice "se A allora B", i valori di verità di A e B devono essere verificabili indipendentemente per trovare il valore di verità dell'implicazione. Quando "se A allora B" definisce B, deve automaticamente valere anche il viceversa: "se B allora A". Altrimenti dire "un numero naturale si dice pari se è divisibile per 2" non assicura che il fatto che 4 è pari implichi che 4 è divisibile per 2. Cioè credo che una definizione, per definizione, converta il "se" di cui fa uso in un "se e solo se".
Nel tuo caso Giosuè non è limite di f per x che tende ad un punto non di accumulazione per f perché se lo fosse, lo sarebbe, e dunque la pappardella sarebbe vera (appunto perché ho rovesciato l'implicazione), ma essa è falsa (se è falsa).
Se $x_0$ non è di accumulazione e la pappardella è "per ogni successione in A convergente a $x_0$, la sua immagine tramite f è una successione che converge a Giosuè", allora essa o è vera perché non ci sono successioni in A convergenti a $x_0$, oppure è vera perché non ci sono intorni di Giosuè nel codominio di f.
Vi giuro che mi sto seriamente chiedendo se la proposizione "se bla allora blablabla" è vera o falsa. Mi sono spinto troppo avanti.
):"Fioravante Patrone":
la def di limite è fatta così (o, almeno, la si può vedere così):
dati:
$A \subseteq RR$, $f:A \to RR$, $x_0 \in RR$, $a \in {$Giosué, Barnaba, Fuffi$}$, diciamo che:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se... (e qui c'è la solita pappardella con epsilon e delta o loro varianti a seconda dei gusti)"
ora, quanto sopra definisce una proprietà dei quattro "enti matematici" $A,f,x_0,a$
mi sembra ovvio che ogni $a$ la soddisfa, se $x_0$ non è di accumulazione per $A$ (ex falso sequitur quodlibet)
quindi, anche Giosué, così come Barnaba e Fuffi
Ritengo ci sia la seguente ambiguità: quando si dice "se A allora B", i valori di verità di A e B devono essere verificabili indipendentemente per trovare il valore di verità dell'implicazione. Quando "se A allora B" definisce B, deve automaticamente valere anche il viceversa: "se B allora A". Altrimenti dire "un numero naturale si dice pari se è divisibile per 2" non assicura che il fatto che 4 è pari implichi che 4 è divisibile per 2. Cioè credo che una definizione, per definizione, converta il "se" di cui fa uso in un "se e solo se".
Nel tuo caso Giosuè non è limite di f per x che tende ad un punto non di accumulazione per f perché se lo fosse, lo sarebbe, e dunque la pappardella sarebbe vera (appunto perché ho rovesciato l'implicazione), ma essa è falsa (se è falsa).
Se $x_0$ non è di accumulazione e la pappardella è "per ogni successione in A convergente a $x_0$, la sua immagine tramite f è una successione che converge a Giosuè", allora essa o è vera perché non ci sono successioni in A convergenti a $x_0$, oppure è vera perché non ci sono intorni di Giosuè nel codominio di f.
Vi giuro che mi sto seriamente chiedendo se la proposizione "se bla allora blablabla" è vera o falsa. Mi sono spinto troppo avanti.
no,no
dico:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se $p$ è vera"
dove $p$ è una proposizione dove ci sono variabili, costanti, etc
dato che $p$ ha una struttura del tipo $A => B$ e $A$ è falsa (poiché $x_0$ non è di accumulazione), allora $p$ è vera
ora, il "se" messo in grassetto è proprio il "se" che si usa nelle definizioni, ma non vedo il problema
dico:
"$a$ è limite di $f(x)$ per $x$ che tende a $x_0$ se $p$ è vera"
dove $p$ è una proposizione dove ci sono variabili, costanti, etc
dato che $p$ ha una struttura del tipo $A => B$ e $A$ è falsa (poiché $x_0$ non è di accumulazione), allora $p$ è vera
ora, il "se" messo in grassetto è proprio il "se" che si usa nelle definizioni, ma non vedo il problema
Ok, credo di avere la coscienza un po' più in pace.
Ora spero solo che la notte mi porti consiglio
Ciao.
Ora spero solo che la notte mi porti consiglio
Ciao.
Ho riportato in vita questa discussione solo per presentarvi Giosuè (rappresentato nel mio nuovo avatar).
ma che bel limite!
Lo so che non centro nulla...ma...complimenti: bel gatto!!!
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