Ancora una dimostrazione sulle sequenze esatte

[Raphael1]

Non riesco a dimotrare che dati $N,N_1,N_2$ $A$-moduli se la sequenza $0 rightarrow Hom_A(M,N_1) rightarrow Hom_A(M.N) rightarrow Hom_A(M,N_2)$ è esatta per ogni $A$-modulo $M$, allora anche la sequenza $0 rightarrow N_1 rightarrow N rightarrow N_2$ è esatta. Ho dimostrato l'implicazione inversa ma questa non riesco a farla!

[ficus2002]

"Raphael":Non riesco a dimotrare che dati $N,N_1,N_2$ $A$-moduli se la sequenza $0 rightarrow Hom_A(M,N_1) rightarrow Hom_A(M.N) rightarrow Hom_A(M,N_2)$ è esatta per ogni $A$-modulo $M$, allora anche la sequenza $0 rightarrow N_1 rightarrow N rightarrow N_2$ è esatta. Ho dimostrato l'implicazione inversa ma questa non riesco a farla!

Chiamo $f:N_1\to N$ e $g:N\to N_2$, $F:Hom_A(M,N_1)\to Hom_A(M,N)$ e $G: Hom_A(M.N) rightarrow Hom_A(M,N_2)$.

$Im(f)\subseteq Ker(g)$: Poni $M:=N_1$. Poichè $f=F(1_{N_1})$, ho $g\circ f=G(f)=0$ perchè $Im(F)\subseteq ker(G)$.

$Im(f)\supseteq Ker(g)$: Poni $M:=ker(g)$. Se $i:ker(g)\to N$ è l'inclusione, allora $G(i)=0$. Per esattezza della sequenza degli Hom, ho $i=F(h)$ per qualche $h:ker(g)\to N$. Sia $n\in ker(g)$; allora $n=f(h(n))\in Im(f)$.

$ker(f)=0$: Sia $M:=ker(f)$ e $i:ker(f)\toN_1$ inclusione. Allora $F(i)=0$. Ma per esattezza della sequenza iniziale, ho $i=0$, cioè $ker(f)=0$.