Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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1) devo determinare le equazioni delle rette appartenenti ad un piano (3x+4y+2=0) aventi distanza data (2) da un piano (2x-3y+z-1=0)
2) devo scrivere le equazioni dei piani perpendicolari al vettore (2,3,-1) e distanti 1 dal punto (-2,1,0)
3) determinare l'angolo diedro formato dai piani di equazione 2x-3y-z-1 e 5x+2z+3=0
qualcuno sa che procedimento devo seguire per risolvere questi esercizi? grazie!!
Salve, non mi riesce dimostrare che se ho f: V-->V nilpotente e g: V -->V tale che
fg - gf = f
esiste un autovettore comune per g e per f.
Allora se f è nilpotente l'unico suo autovalore è 0, quindi il nucleo di f è non nullo. Dal momento che v deve essere autovettore per entrambi, allora, se prendo v appartenente al nucleo di f:
fg (v) - gf(v) = f(v)
ovvero
f g(v) = 0
devo dimostrare quindi che esiste un autovettore di g che appartiene al nucleo di f... ho provato a ...
mi serve per chiarire un po' di cose, anche senza scrivere i risultati mi serve solo il procendimento...
dati i polinomi B=$p_1=t^2-2t$, $p_2=1+2t$, $p_3=2-t^2 -1+t$, C=$q_1=-1+t$, $q_2=-1+t-t^2$, $q_3=2t+2t^2$
Dimostra che B e C sono basi di $RR_2[t]$
io qui ho fatto l'isomorfismo in $RR^3$ e ho messo i vettori nella matrice e ho visto che sono linearmente indipendenti, quindi sono basi.
Poi, $U=<p_1,p_2>$ (cioè lo spazione ...
Ciao, ho $1/(w*(e^w -1))$.
$w=0$ dovrebbe essere un polo di secondo ordine...
se io sviluppo l'esponenziale avrei $(w^2+w^3/(2!)+...)^(-1)$ e con l'approssimazione binomiale (posso farla?) avrei $w^2-w^3/(2!)+...$ ma avendo questa "serie di Laurent" solo potenze positive, dovrebbe essere eliminabile e non un polo, però non esistendo il limite non può essere eliminabile...quindi? mi sa che c'è qualcosa che non va nell'approssimazione binomiale...
qualcuno mi dà una mano? grazie.
Salve a tutti stavo facendo questo esercizio
A=$((2,0,1),(0,3,0),(1,0,2))$ ovviamente quando l'eserzio chiedeva se è diagonalizzabile subito ho risposto di si
in quanto simmetrica è ortogonalmente diagonalizzabile
vado a trovare autovalori e autospazzi
3 ,3 e 1 sono gli autovalori
l'autospazio relativo ad 3 è di dimensione 2
è una base è L(1,0,1)(0,1,0)
mentre per 1 L(1,0,-1)
se voglio la matrice invertibile che diagonalizza A basta mettere per colonne le basi qui sopra riportate
quindi ...
Sia (A+B) ^t (trasposta della somma ) come posso dimostrare che è uguale a A^t + B^t (trasposta della somma)?
Ho la base dell'immagine di un'applicazione lineare, base che è
${(1, 1, 0, 0, -1), (0, 0, 0, 3, 0), (-1, 1, 1, 1, -1)}$,
è devo capire per quali valori di $k$ il vettore $v_k = (k, 2, 2-k, 4, -2)$ appartiene all'immagine dell'applicazione lineare.
Siccome sono un po' povero dal punto di vista teorico, ho provato semplicemente a considerare la matrice avente come righe (o colonne, non cambia molto) le tre dei vettori della base, sicuramente indipendenti, e quella del vettore $v_k$, e a vedere per quali ...
Ciao a tutti
chiedo scusa se questa domanda fosse stata già posta in precedenza, ma non me la cavo molto bene con la funzione "cerca" del forum (lo so che sembra strano, ma è così); ho dei grossi dubbi relativi al metodo generale per trovare una base di Jordan di un endomorfismo, dopo aver ovviamente trovato la relativa matrice di Jordan. Io studio sul libro "Geometria" di Marco Abate (ed. McGraw-Hill) assieme al relativo libro di esercizi, che però dedica appena un paragrafo e un esempio al ...
ciao a tutti.
mi sorge un dubbio riguardo un'esercizio.
allora io ho $V$ uno spazio vettoriale complesso di dimensione finita e $f:V->V$ omomorfismo hermitiano.
a questo mi sdi dice che posso associare un prodotto hermitiano su $V$ cioe' un $h$ che sia sesquilineare. ma in che modo?
poi ho anche $f^*$ cioe' il trasposto di $f$ definito da $V^*->V^*$ ed ora mi si dice che posso associare a questo ...
...di una matrice con elementi anche parametrici, mediante il metodo degli orlati.
Fino ad ora mi sono barcamenato con metodi casuali, sia utilizzando la riduzione a gradini, sia il metodo degli orlati, per calcolare il rango di una matrice. Tale casualità ha avuto anche successo in molti casi, per la "semplicità" della matrice coinvolta.
Probabilmente quello che chiedo è l'illustrazione del "metodo di Kronecker", anche se non sono sicuro completamente di questo.
In molti altri ...
Ho risolto due esercizi su somma ed intersezione di autospazi, però vorrei sapere se il procedimento è corretto poiché ho un bel po' di dubbi su un argomento, questo, che (diciamo) non mi sta molto simpatico...Ecco gli esercizi ed i procedimenti.
1)Si determini la dimensione del sottospazio $U=V nnn W$ di $R^4$ essendo $V={(x,y,z,t) in R^4| 2x-y+t=0}$ e $W={(x,y,z,t) in R^4| x+y-2z-t=0}$
Per determinare l'intersezione ho pensato di risolvere il sistema lineare formato dalle due equazioni lineari. Dato ...
ciao ragazzi , ho delle diffic. a svolgere il segeunte esercizio. potreste aiutarmi?
dunqu non capisco perche' se ho un sistema di 4 equ in 3 inc. l' eserc mi chiede se ammette per h app. R inf.^2 soluzioni.
dunque: il sistema:
x+y+z= h
hx-2y+z=0
hy+z=h
x+(1-h)y+2z=2h
a. h= 0
b. quals. h div. = 0
c.mai
d. per ogni h.
ciao a tutti, ho incontrato questo esercizio e ho delle difficoltà.
allora sia $V$ uno spazio vettoriale su $RR$ con un prodotto scalare e sia $W$ un suo sottospazio.
definisco $V/W$ nella maniera ovvia e questo risulta essere uno spazio vettoriale.
ora mi si chiede di dimostrare che $V/W$ è isomorfo all'ortogonale di $W$ in $V$
come posso trovare questo isomorfismo?
mi sapete dare una mano? ...
Spero in un vostro aiuto, sarò ignorante ma nn so da dove iniziare nel risolvere gli esercizi. Eccone uno, mi spiegate 1po' come si fa? è abbastanza urgente!
A) Si considerino i sottoinsiemi dello spazio vettoriale R3 così definiti:
R = {x, y, z | x − y = 2}, ...
Salve, non riesco a trovare questa dimostrazione, la danno tutti per scontata a quanto pare , ho provato a farla io, ma non so se ho sbagliato qualcosa
$[AB]_hh$ = $\sum_{i=1}^N [A]_(ih)<strong>_(hi)$ per definizione di prodotto di matrici.
la traccia è la somma degli elementi sulla diagonale:
$\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N [A]_(ih)<strong>_(hi)$
ora dobbiamo dimostrare che $tr (AB) = tr (BA)$
cioè che:
$\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N [A]_(ih)<strong>_(hi)$ = $\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N <strong>_(ih)[A]_(hi)$
Ma a questo puntosbaglio o la dimostrazione è finita? cioè questa equazione è ...
avrei anche questo prioblema ,scusatemi ma sono davvero dispiaciuta il proff. li mette ma non li spiega.
Il prodotto vettoriale e scalare come si eseguono?
V(1,0,2)
U (1,1,3)
W(-2,1,-1)
QUALE DELLE SEGUENTI RELAZIONI è VERIFICATA ?
V U^W=2
VU-UW=0
V^U+W=0
VU=-W
Dunque, cercando di riassumere tutto ciò che mi è stato detto su una generica applicazione lineare, enuncerò le proprietà che mi sono state date, e che sono cinque. Per brevità forse sgarrerò qualche definizione, ma spero si capisca lo stesso a cosa voglio alludere. In ogni caso, chiarirò dopo, se necessario.
Faccio questo preambolo perchè non ho fatto molta teoria riguardo alle applicazioni lineari, come ben saprà già chi ha letto qualche mia discussione precedente. Lo faccio per far ...
Ho risolto il seguente esercizio:
Si stabilisca quali dei seguenti sottospazi di $R^(3,1)$ è autospazio della matrice
$M=((0,0,1),(2,-1,1),(-1,0,1))$. Sottospazi: $A: L((0 1 0)^T); B: L((1 0 0)^T); C: L((0 0 1)^T)$; D: $L((1 1 0)^T)$
Per determinare gli autospazi della matrice, e verificare che uno di essi sia uguale ad uno dei sottospazi proposti, ho prima di tutto calcolato gli autovalori. Essi sono: $\lambda =-1$. Quindi, dopo aver impostato il solito sistema, mi sono venuti fuori questi valori: $\alpha(0,1,0)$, che ...
quesito che non so risolvere:
In P^3 sono date 2 rette sghembe: ri ed r2.
Esistono e quante sono le rette di P^3 che incontrano in un punto r1 ed r2?
soluz. Tante quante sono i punti di P^3 meno le due rette.
...ma cioè?
- Esistono rette in p^4 che intersecano r1 r2 ed r3 in un punto ciascuno?
soluz. 1 sola retta. Perkè?
- In P^n sono date 3 rette a 2 a 2 sghembe: in quali e quanti casi ci sono rette che intersecano tutte e 3 e in quali casi non ci sono???
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