Algebra lineare esercizio semplice semplice

[nato_pigro1]

mi serve per chiarire un po' di cose, anche senza scrivere i risultati mi serve solo il procendimento...

dati i polinomi B=$p_1=t^2-2t$, $p_2=1+2t$, $p_3=2-t^2 -1+t$, C=$q_1=-1+t$, $q_2=-1+t-t^2$, $q_3=2t+2t^2$

Dimostra che B e C sono basi di $RR_2[t]$

io qui ho fatto l'isomorfismo in $RR^3$ e ho messo i vettori nella matrice e ho visto che sono linearmente indipendenti, quindi sono basi.


Poi, $U=$ (cioè lo spazione generato da $p_1$ e $p_2$) $W=$, calcola dimensione e base di $U+W$ e $UnnW$

qui ho i maggiori dubbi...

[franced]

"nato_pigro":mi serve per chiarire un po' di cose, anche senza scrivere i risultati mi serve solo il procendimento...

dati i polinomi B=$p_1=t^2-2t$, $p_2=1+2t$, $p_3=2-t^2 -1+t$, C=$q_1=-1+t$, $q_2=-1+t-t^2$, $q_3=2t+2t^2$

Dimostra che B e C sono basi di $RR_2[t]$

io qui ho fatto l'isomorfismo in $RR^3$ e ho messo i vettori nella matrice e ho visto che sono linearmente indipendenti, quindi sono basi.


Poi, $U=$ (cioè lo spazione generato da $p_1$ e $p_2$) $W=$, calcola dimensione e base di $U+W$ e $UnnW$

qui ho i maggiori dubbi...

Ad esempio, il polinomio $p_1 = t^2 - 2t$ lo consideri come il vettore $((0),(-2),(1))$.

In pratica basta "spostare" l'attenzione su $RR^3$, lì i calcoli sono più semplici.

[Lord K]

Semplicemente osservi che $RR_2[t] \sim RR^3$ da cui quindi puoi avere:

$dim(U+W) = 2$

se sia $q_3,q_2$ possoo essere espressi come combinazione lineare di $p_1,p_2$, altrimenti necessariamente:

$dim(U+W) = 3$

e quindi la base è semplicemente $p_1,p_2,q_i$ con $q_i$ il polinomio che è indipendente da $p_1,p_2$.

Una volta trovato questo hai che:

$dimU + dimW = dim(U+W)+dim(UnnW)$

da cui $dim(UnnW)=1$ se $dim(U+W) = 3$ e la base la trovi come polinomio (ce n'è uno solo) che è esprimibile sia come combinazione di $p_1,p_2$ che come $q_2,q_3$.

$dim(UnnW)=2$ se $dim(U+W) = 2$ ma allora l'intersezione ha come base $q_2,q_3$ oppure $p_1,p_2$!