Problemi con i vettori e sottospazi

[Naima1]

Spero in un vostro aiuto, sarò ignorante ma nn so da dove iniziare nel risolvere gli esercizi. Eccone uno, mi spiegate 1po' come si fa? è abbastanza urgente!

A) Si considerino i sottoinsiemi dello spazio vettoriale R3 così definiti:


R = {x, y, z  | x − y = 2},


S = { x,y,z  | x + z = y},


T = { x,y,z  | xz = 0}.


Si stabilisca se R, S e T sono, o meno, sottospazi di R3 , determinando, in caso di risposta affermativa, la dimensione e una base del sottospazio.

[Naima1]

io so che un sottoinsieme di uno spazio vettoriale è 1sottospazio se e solo se qualsiasi k € R e qualsiasi u1, u2 € al sottoisieme:
1) u1+u2 € sottoinsieme
2) ku1 € sottoinsieme

quindi? come risolvo?

[Naima1]

Scusami ma non ci sono proprio

"Sergio":
Bene. Prendi due elementi di R, ad esempio: 4-2=2 e 8-6=2. Poi li sommi: 12-8=4. Non appartiene a R.

perchè non appartiene a R?

"Sergio":
Più in generale: dati due elementi $(x_1=x_2+2,x_2,x_3)$ e $(y_1=y_2+2,y_2,y_3)$ di R, se li sommi hai:
$((x_1+y_1=x_2+y_2+4),(x_2+y_2),(x_3+x_3))$
Vedi subito che la differenza tra la prima e la seconda componente è 4, non 2, quindi non appartiene a R.
Se moltiplichi: $k(x_1=x_2+2,x_2,x_3)=(kx_1=kx_2+2k,kx_2,kx_3)$. Anche qui vedi subito che la differenza tra le prime due componenti è $2k$, che è uguale a 2 solo se $k=1$, non per qualsiasi $k$.
Quindi R non è un sottospazio.

anche qui non ho capito cosa devo fare. Perchè hai sritto $(x_1=x_2+2,x_2,x_3)$ e $(y_1=y_2+2,y_2,y_3)$ $((x_1+y_1=x_2+y_2+4),(x_2+y_2),(x_3+x_3))$

[Naima1]

quindi S verrebbe così?
(y+z,y,z)+(b+c,b,c)=(y+2+b+c,y+b,z+c) poichè x+z=y -> x=y+z e a+c=b -> a=b+c

e T?
xz = 0 -> x=0 e z=0 giusto? quindi T= (0,y,0)