Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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provare che:
$x-y=x+y+z=0$
$x-y+t=x-2z=0$
sono sottospazi, calcolare una base e trovarne le dimensioni.
per il primo sottospazio devo prendermi due ennuple 2y+z=0 e dire che la loro somma 2(y+y'),z+z'=0? per il secondo non so come fare. più che altro non so come devo procedere nello svolgere questi esercizi pur sapendo che il sottospazio per essere tale devo essere soddisfatto dalle operazioni di somma tra vettori, esistenza dell'elemento neutro, scalare per un ...
So che esiste questo teorema:
"Se V è uno spazio finitamente generabile e H è un suo sottospazio, allora H sarà a sua volta uno spazio vettoriale finitamente generabile".
Come dimostrereste voi questo teorema. Come al solito, provandoci, mi sono impelagato. Chiedo, tanto per cambiare, il vostro aiuto.
Io ho provato a identificare prima il sottospazio H, i vettori che ne facessero parte, e successivamente ho provato a verificare le proprietà che identificano uno spazio vettoriale su ...
Io ho un fascio di piani generato da una retta, nella classica equazione di un fascio di piani nello spazio:
$\lambda(ax + by+ cz + d) + \mu (a' x + b' y+ c' z + d') = 0$
Sostituisco a $x, y, z$ le coordinate di un punto, che non so davvero a questo punto come inquadrare geometricamente (è banale, ma il mio discorso è un po' più ampio ).
Mi viene un' equazione di secondo grado in due incognite, $\lambda$ e $\mu$. Che significato devo dare alle infinite soluzioni di quest' equazione? Al loro variare ...
Salve, ho risolto questo esercizio, però non so se il mio ragionamento è corretto.
Fissato nello spazio un riferimento metrico,si stabilisca quale dei seguenti piani è quello parallelo ai due vettori $u(1,1,0)$ e $v(0,1,2)$.
$A)x-y+z=2; B)2x-2y+z=3; C)2x-z=0; D)x+y+2z=6$.
Ho ragionato in questa maniera: visto che il piano deve essere parallelo ai due vettori, allora il vettore normale ad esso è ortogonale anche ai due vettori. Per definizione, il vettore ortogonale ad un piano è quello dato dai suoi ...
Ho sempre qualche problema con le distanze. L'unico metodo che conosco per calcolare la distanza dei punti $A$ e $B$ è calcolare la norma del vettore $A-B$. Quindi volevo chiedervi aiuto per questi due problemi che non riesco a risolvere. Il primo sono arrivato ad un certo punto esplorando in modo intuitivo ma questo punto s'è rivelato un vicolo cieco, non so se per errori di calcolo, dimenticanze o proprio errori di concetto. Il secondo invece è un ...
ciao a tutti!un problema mi chiede di trovare due piani $\pi_2$ $\pi_3$ ortogonali al piano $\pi$ di equazione $x-2y+2z-5=0$ e tangenti alla sfera S di equazione $x^2+y^2+z^2+2x-4y-2z-3=0$.
Io prima di tutto trovo un vettore ortogonale alla giacitura del piano $\pi$ che dovrebbe essere il vettore direzione dei nuovi due piani ( che dovrebbe essere $(4k,k,-k)$ )ma poi non so come procedere. grazie dell'aiuto!
Date le due rette nello spazio:
1) $(x -1)/2 = (y+2)/-3 = z/4$
2) $x - y + 7 = 0$
$x - z - 5 = 0$
1) Verificare che sono complanari;
2) In caso affermativo, dire se sono parallele oppure no;
3) Se non sono parallele, trovare il punto di intersezione.
Per i primi due punti non c'è problema.
Per il terzo mi è stata fornito un metodo di risoluzione che vorrei discutere con voi.
Onestamente, non capisco la spiegazione che mi è stata fatta.
Forse è meglio che mi forniate voi un ...
Probabilmente mi sfugge qualcosa di molto semplice, però, sarà la stanchezza. Sempre meglio chiedere.
Ho un insieme di vettori indipendenti, $V$, tale che sia $V={v_1, ..., v_n}$. Togliendo uno di questi vettori da questo insieme, come faccio a dimostrare che quelli rimanenti siano indipendenti?
A proposito di sistemi di vettori linearmente indipendenti, io so che nessuno di essi dipende dai rimanenti; poi conosco un'altro teorema che ci dice che se "aggiungo" (e non tolgo, ...
ciao a tutti!! qualcuno mi potrebbe spiegare cosa significs trovare un vettore che generi la giacitura di una retta?? io già ho l'equazione della retta e dunque la sua giacitura...quindi cosa devo trovare?
Lo spazio V è generato da tre vettori , quindi per
trovare la dimensione e una base, bisogna trovare i vettori indipendenti nel
sistema di generatori. Si ha che (3,−2,−2) = 3(1, 0, 0) − 2(0, 1, 1), quindi il
vettore (3,−2,−2) dipende dai precedenti, mentre i vettori {(1, 0, 0), (0, 1, 1)}
costituiscono un sistema indipendente, dunque sono una base per V che risulta
quindi avere dimensione 2.dimensione due perchè ha due vettori che lo costituiscono?
Ciao a tutti sono un nuovo utente.
Non riesco a capire come fare a provare che i vettori a(1,0,0,-1) b(0,1,0,-1) c(0,0,0,1,-1) sono linearmente indipendenti.
Grazie mille
Io ho un'affinità (o trasformazione affine che dir si voglia) nello spazio euclideo $E^4$ rispetto alla quale conosco l'immagine di quattro vettori linearmente indipendendenti. Nello specifico:
$f(v_1)=v_2$
$f(v_2)=v_1$
$f(v_3)=v_3$
$f(v_4)=v_4$
I vettori (espressi rispetto alla base canonica) sono:
$v_1=(1,0,2,0)$
$v_2=(0,0,-1,-1)$
$v_3=(2,0,-1,0)$
$v_4=(0,1,0,0)$
Ora devo scrivere le equazioni di questa trasformazione affine ma non riesco a ...
ciao a tutti,
oggi ho fatto l'esame di distreta.
un esercizio che mi ha lasciato disorientato è il seguente:
Studiare il sistema lineare nelle incognite $(x, y, z, w)$ al variare del parametro k.
Ok, ne ho fatti molti di questi e insomma so di cosa si tratta, so farlo e so interprettare le risposte.
tuttavvia questa volta ... è successp qualcosa di strano. Vediamo l'esercizio:
$\Sistema = {(ky + w = 0), (2x + ky + 4z + (k+2)w = 0), (y + 3z + 4w = 0), (x + 2z + 2w = 0):}$
ora ne scrivo la matrice ...
Non riesco a stabilire se l'ideale generato da $x+1$ in $Z[x]$ è massimale. Mi potete aiutare? Grazie.
Salve, non riesco a capire una cosa.
Avevo nel compito questo esercizio:
Sia $f_a$ $in$ End( R(2)) definito da $f_a$(X)= [A,X] , ed A = $((4,3),(3,-4))$ ;
Determinare autovalori ed autovettori e discuterne la diagonalizzabilità.
Io ho iniziato a svolgere così:
$f_a$(X) = [A,X] = AX-XA
La X dovrebbe essere (chiedo chiarimenti) la matrice delle coordinate X = $((x,y),(z,t))$
Quindi ottengo una cosa di questo ...
dati i punti A(0,0,0) B(1,4,8) C(2,5,9) D(x,y,z) , determinare il punto D per il quale ABCD è un trapezio rettangolo che ammette AB come lato obliquo.
vi posto un file pdf col disegno
questo esercizio penso vado fatto con intersezione retta piano, solo che il punto D mi blocca perchè una volta che mi trovo retta per due due punti, mi calcolo i parametri direttori l,m,n faccio il pianto passante per D perpendicolare alla retta, ovviamente mi vengono 3 punti che devo trovare. ho provato a ...
C'è una definizione che non mi è ben chiara:
Si dice che una matrice A ha tutti i suoi autovalori in $C$, se il polinomio caratteristico,si fattorizza in fattori lineari in $C[x]$.
Ma un qualsiasi polinomio di grado $n$, ha esattamente $n$ radici e quindi $n$ fattori lineari no?.
Quindi in genere questa definizione vale per un qualunque campo $K$, e il caso fortunato è prorio $CC$ in quanto ogni ...
Ciao a tutti.
Dunque, non mi è chiaro perché $A^2\\{0\}$ non sia una varietà affine. Riesco a capire che se lo fosse ciò implicherebbe l'esistenza di un isomorfismo tra $A^2\\{0\}$ e $A^2$, ma perché tale morfismo non può esistere?
-Tra le proprietà di un sistema:
1) è compatibile;
2 si riduce a gradini;
che rapporto logico c'è: equivalenza o implicazione dell'una verso l'altra?
-Si può dimostrare, senza ricorrere alle matrici ausiliarie del sistema, che esso è compatibile solo se è riducibile a gradini? Finora riesco a intuirlo solo basandomi sui vari casi, anche se magari una "dimostrazione" relativa a un generico sistema $m x n$ (anche da sviluppare da me, mi basterebbe un input, magari) mi potrebbe ...
Salve a tutti,
avrei un piccolo dilemma di algebra lineare. Devo trovare un generico punto appartenente a una retta, dove la retta interessata è:
$r: {(4x-y-5z+t=0),(x-z+3t=0):}$
Come faccio a trovare un generico punto appartenente a questa retta?
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