Esercizio algebra lineare
ciao a tutti, ho incontrato questo esercizio e ho delle difficoltà.
allora sia $V$ uno spazio vettoriale su $RR$ con un prodotto scalare e sia $W$ un suo sottospazio.
definisco $V/W$ nella maniera ovvia e questo risulta essere uno spazio vettoriale.
ora mi si chiede di dimostrare che $V/W$ è isomorfo all'ortogonale di $W$ in $V$
come posso trovare questo isomorfismo?
mi sapete dare una mano?
ciao a tutti
allora sia $V$ uno spazio vettoriale su $RR$ con un prodotto scalare e sia $W$ un suo sottospazio.
definisco $V/W$ nella maniera ovvia e questo risulta essere uno spazio vettoriale.
ora mi si chiede di dimostrare che $V/W$ è isomorfo all'ortogonale di $W$ in $V$
come posso trovare questo isomorfismo?
mi sapete dare una mano?
ciao a tutti
Risposte
Secondo me deve essere $W$ di dimensione finita oppure chiuso e $V$ uno spazio di Hilbert. Infatti in questi due casi si ha che $V=Wo+W^bot$ e quando uno quozienta un fattore di una somma diretta, ottiene qualcosa di isomorfo all'altro (e questo fatto mi pare sia vero pure nei gruppi, quando sono prodotto diretto di due sottogruppi normali). Che ne pensi?
si ovviamente tutto in dimensione finita.
si la cosa mi torna ma nn riesco a trovare un isomorfismo esplicito.
si la cosa mi torna ma nn riesco a trovare un isomorfismo esplicito.
Mah, mi pare che sia uno dei teoremi di omomorfismo. Difatti se uno spazio vettoriale $V$ è $V=Wo+U$, allora per ogni $V\inV$ esistono unici un $w=w(v), u=u(v)$ in $W, U$ rispettivamente, tali che $v=w+u$. L'applicazione $rho:v\mapstou(v)$ è lineare, ha per nucleo $W$: quindi determina un isomorfismo $V//"ker"rho~="im"rho$ (teorema fondamentale di omomorfismo). Ma l'immagine di $rho$ è chiaramente $U$, da cui ricaviamo un isomorfismo $V//W~=U$.
Se vogliamo esplicitare questo isomorfismo basta che ci andiamo a rivedere il teorema fondamentale di omomorfismo: si tratta dell'applicazione che ad ogni $v+W$ associa $u(v)$ definito come sopra. Funziona?
P.S.: Naturalmente bisogna dimostrare che la $v+W\mapstou(v)$ è ben definita. Il che è vero perché se $v+W=z+W$, necessariamente (anzi è una equivalenza) $v$ e $z$ hanno la stessa proiezione nella direzione di $U$. Infatti deve essere $v-z\inW$, e quindi $u(v)-u(z)=0$. Queste cose in realtà fanno parte del teorema di omomorfismo, ma sono anche facili da verificare direttamente.
Se vogliamo esplicitare questo isomorfismo basta che ci andiamo a rivedere il teorema fondamentale di omomorfismo: si tratta dell'applicazione che ad ogni $v+W$ associa $u(v)$ definito come sopra. Funziona?
P.S.: Naturalmente bisogna dimostrare che la $v+W\mapstou(v)$ è ben definita. Il che è vero perché se $v+W=z+W$, necessariamente (anzi è una equivalenza) $v$ e $z$ hanno la stessa proiezione nella direzione di $U$. Infatti deve essere $v-z\inW$, e quindi $u(v)-u(z)=0$. Queste cose in realtà fanno parte del teorema di omomorfismo, ma sono anche facili da verificare direttamente.
Non ho capito due cose:
1) $V$ è di dimensione finita o no?
2) Per prodotto scalare su $V$ si intende forma bilineare simmetrica o forma bilineare simmetrica definita positiva?
1) $V$ è di dimensione finita o no?
2) Per prodotto scalare su $V$ si intende forma bilineare simmetrica o forma bilineare simmetrica definita positiva?
Io ho assunto queste ipotesi: $V$ può anche non essere di dimensione finita e il prodotto scalare può anche non essere definito positivo, l'importante è che $W$ scomponga $V$ in somma diretta $V=Wo+W^bot$. Se questo è vero, basta applicare il teorema fondamentale di isomorfismo per concludere. (detto in due parole)
Se $V$ è di dimensione finita e la forma è definita positiva, allora il risultato è ovvio:
infatti i due spazi hanno la stessa dimensione $dim W ^bot = dim V - dim W = dim (V//W)$.
La seconda uguaglianza vale sempre se $V$ è uno spazio di dimensione finita (prendere una base $w_1,...,w_k$ di $W$, completarla a base $w_1,...,w_k,v_(k+1),...,v_n$ di $V$, allora verificare che $v_(k+1) + W,...,v_n + W$ è una base di $V//W$.)
La prima uguaglianza vale perché se la forma $b$ è definita positiva, allora anche la restrizione $b|_(W times W)$ è definita positiva, in particolare $b|_(W times W)$ è non degenere e quindi $V = W o+ W^bot$.
Se volete posto la dimostrazione di quest'ultima proposizione:
Se $K$ campo, $V$ spazio vettoriale di dimensione finita su $K$, $b : V times V -> K$ forma bilineare simmetrica, $b|_(W times W^bot)$ non degenere.
Allora $V = W o+ W^bot$.
infatti i due spazi hanno la stessa dimensione $dim W ^bot = dim V - dim W = dim (V//W)$.
La seconda uguaglianza vale sempre se $V$ è uno spazio di dimensione finita (prendere una base $w_1,...,w_k$ di $W$, completarla a base $w_1,...,w_k,v_(k+1),...,v_n$ di $V$, allora verificare che $v_(k+1) + W,...,v_n + W$ è una base di $V//W$.)
La prima uguaglianza vale perché se la forma $b$ è definita positiva, allora anche la restrizione $b|_(W times W)$ è definita positiva, in particolare $b|_(W times W)$ è non degenere e quindi $V = W o+ W^bot$.
Se volete posto la dimostrazione di quest'ultima proposizione:
Se $K$ campo, $V$ spazio vettoriale di dimensione finita su $K$, $b : V times V -> K$ forma bilineare simmetrica, $b|_(W times W^bot)$ non degenere.
Allora $V = W o+ W^bot$.
Si ok, dissonance. Solo che la condizione $V = W o+ W^bot$ te la dà per esempio la positività della forma.
Sei sicuro che sia sufficiente richiedere che $b$ non sia degenere? Io, a primo impatto, richiederei che $W$ abbia una base composta da vettori non isotropi. (Così poi si potrebbe definire una applicazione proiezione ortogonale e procedere esattamente come negli spazi euclidei "classici"). Tu come fai?
P.S.: Non avevo letto il tuo ultimo intervento. Si, il fatto che $V=Wo+W^bot$ succede sotto alcune condizioni, non sempre: ad esempio se la forma bilineare è degenere sicuramente ci saranno problemi. Ci sono problemi anche se il prodotto è definito positivo ma $V$ ha dimensione infinita e $W$ non è chiuso. Probabilmente il testo dell'esercizio si riferisce a spazi a prodotto scalare definito positivo, con $W$ di dimensione finita. In questi casi $V=Wo+W^bot$, come sappiamo.
P.S.: Non avevo letto il tuo ultimo intervento. Si, il fatto che $V=Wo+W^bot$ succede sotto alcune condizioni, non sempre: ad esempio se la forma bilineare è degenere sicuramente ci saranno problemi. Ci sono problemi anche se il prodotto è definito positivo ma $V$ ha dimensione infinita e $W$ non è chiuso. Probabilmente il testo dell'esercizio si riferisce a spazi a prodotto scalare definito positivo, con $W$ di dimensione finita. In questi casi $V=Wo+W^bot$, come sappiamo.
"dissonance":
Sei sicuro che sia sufficiente richiedere che $b$ non sia degenere?
Ovviamente nè basta nè serve che $b$ sia non degenere.
Vale:
$K$ campo, $V$ spazio vettoriale di dimensione finita, $W$ sottospazio di $V$, $b : V times V -> K$ forma bilineare simmetrica. Allora:
$b | _(W times W)$ non degenere se e solo se $V = W o+ W^bot$.
Questo fatto è interessante, mi piacerebbe dimostrarmelo ma ho poco tempo in questi giorni. Mi puoi dare la tua dimostrazione, anche a grandi linee?
"dissonance":
Questo fatto è interessante, mi piacerebbe dimostrarmelo ma ho poco tempo in questi giorni. Mi puoi dare la tua dimostrazione, anche a grandi linee?
Sia $K$ un campo e sia $V$ uno spazio vettoriale su $K$ di dimensione finita $n in NN^+$; sia $b : V times V -> K$ una forma bilineare simmetrica o antisimmetrica.
Sia, infine, $W$ un sottospazio di $V$.
Indico con $V^**$ e $W^**$ i duali di $V$ e $W$.
Per ogni $v in V$ definisco $b_v : V -> K \ , \ w |-> b(v,w)$; si osserva che $b_v$ è lineare e quindi $b_v in V^**$.
Definisco $delta_b : V -> V^** \ , \ v |-> b_v$; si osserva che $delta_b$ è lineare. (Inoltre la forma $b$ è non degenere se e solo se $delta_b$ è un isomorfismo; prova a vedere qual'è la matrice associata a $delta_b$ rispetto a una base di $V$ e alla sua base duale).
[size=150]1) $dim W + dim W^bot >= dim V$.[/size]
Dim: Consideriamo $r_W : V^** -> W^** \ , \ psi |-> psi|_W$ l'applicazione che associa ad ogni funzionale di $V$ la sua restrizione a $W$.
Si osserva che $r_W$ è lineare e ha per nucleo $Ker \ r_W \ = \ text{Ann} (W)$.
Allora per il teorema della dimensione e per la formula della dimensione dell'annullatore di un sottospazio si ha $dim \ Im \ r_W \ \ = \ \ dim \ V^** - dim \ Ker \ r_W \ \ = \ dim V - dim \ text{Ann}(W) \ = \ dim V - (dim V - dim W)= dim W = dim W^**$, quindi $Im \ r_W = W^**$, cioè $r_W$ è surgettiva.
Ora considero l'applicazione lineare $r_W circ delta_b \ : V -> W^**$. Il nucleo è $Ker (r_W circ delta_b) = {v in V | 0= (r_W circ delta_b)(v) = r_W(delta_b(v)) = r_W (b_v) = b_v \ |_W} = {v in V | forall w in W, \ 0 = b_v(w) = b(v, w)} = W^bot$.
Quindi dal teorema della dimensione $dim W^bot = dim Ker (r_W circ delta_b) = dim V - dim text{Im} (r_W circ delta_b)$;
ma $Im (r_W circ delta_b) subseteq Im r_W = W^**$ e quindi $dim Im (r_W circ delta_b) <= dim Im r_W = dim W$.
Allora sostituendo $dim W^bot = dim V - dim Im (r_W circ delta_b) >= dim V - dim W$ che è la tesi.
[size=150]2) Il radicale della forma $b |_(W times W)$ è $W nn W^bot$.[/size]
Dim: il radicale di $b | _(W times W)$ è ${u in W | forall w in W, b(u,w)=0} = {v in V | v in W \ text{e} \ forall w in W, b(v,w)=0} = {v in V | v in W} nn {v in V | forall w in W, b(v,w)=0} = W nn W^bot$.
[size=150]3) Sono fatti equivalenti i seguenti:
a) $V = W o+ W^bot$
b) $W nn W^bot = {0}$
c) $b|_(W times W)$ è non degenere[/size]
Dim: a) => b): ovvio;
b) => a): per la formula di Grassmann $dim W + dim W^bot = dim (W nn W^bot) + dim (W uu W^bot) = dim (W uu W^bot) <= dim V$, ma per 1) vale anche la disuguaglianza col verso opposto, quindi $dim W + dim W^bot = dim V$ che equivale alla tesi.
b) <=> c): ovvio perché il radicale della forma $b|_(W times W)$ è $W nn W^bot$ per 2); e quindi si conclude perché una forma è non degenere se e solo se il radicale è il sottospazio banale.
Spero di non aver commesso errori, anche se ho più o meno ricopiato gli appunti del corso di geometria 1.
Potresti consultare il Sernesi per trovare cose simili a queste.
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