[Algebra]Esercizi su somma e intersezione di sottospazi
Ho risolto due esercizi su somma ed intersezione di autospazi, però vorrei sapere se il procedimento è corretto poiché ho un bel po' di dubbi su un argomento, questo, che (diciamo) non mi sta molto simpatico...Ecco gli esercizi ed i procedimenti.
1)Si determini la dimensione del sottospazio $U=V nnn W$ di $R^4$ essendo $V={(x,y,z,t) in R^4| 2x-y+t=0}$ e $W={(x,y,z,t) in R^4| x+y-2z-t=0}$
Per determinare l'intersezione ho pensato di risolvere il sistema lineare formato dalle due equazioni lineari. Dato che il sistema lineare possiede infinite soluzioni e due parametri "liberi", la dimensione del sottospazio intersezione dovrebbe essere 2.
2)Si determini la dimensione del sottospazio $U=V+W$ di $R^4$ essendo $V={(x,y,z,t) in R^4|x-y+t=0}$ e $W={(x,y,z,t) in R^4| x+y+2t=0}$
Questa volta, per risolvere, ho applicato Grassman, in base a cui $dim(V+W)=dimV+dimW-dim(V nnn W)$. Quindi, dato che l'equazione lineare di $V$ determina un iperpiano di dimensione 3, così come anche l'equazione lineare di $W$, si ha $dimV+dimW=6$. Risolvendo il sistema lineare formato dalle due equazioni, otteniamo infinite soluzioni e due parametri liberi, quindi $dim(V nnn W)=2$. Allora, si ha che la dimensione di $U$ è 4.
E' corretto?
Ne approfitto per risolvere un dubbio circa la risoluzione di sistemi lineari: nel secondo esercizio, risolvendo il sistema formato dalle due equazioni lineari in $R^4$, in entrambe non figurava la variabile z. Ebbene, a questo punto si ha semplicemente z=0 oppure, come ho fatto io, z= parametro libero?
Vi ringrazio, spero possiate scacciarmi questi dubbi!
1)Si determini la dimensione del sottospazio $U=V nnn W$ di $R^4$ essendo $V={(x,y,z,t) in R^4| 2x-y+t=0}$ e $W={(x,y,z,t) in R^4| x+y-2z-t=0}$
Per determinare l'intersezione ho pensato di risolvere il sistema lineare formato dalle due equazioni lineari. Dato che il sistema lineare possiede infinite soluzioni e due parametri "liberi", la dimensione del sottospazio intersezione dovrebbe essere 2.
2)Si determini la dimensione del sottospazio $U=V+W$ di $R^4$ essendo $V={(x,y,z,t) in R^4|x-y+t=0}$ e $W={(x,y,z,t) in R^4| x+y+2t=0}$
Questa volta, per risolvere, ho applicato Grassman, in base a cui $dim(V+W)=dimV+dimW-dim(V nnn W)$. Quindi, dato che l'equazione lineare di $V$ determina un iperpiano di dimensione 3, così come anche l'equazione lineare di $W$, si ha $dimV+dimW=6$. Risolvendo il sistema lineare formato dalle due equazioni, otteniamo infinite soluzioni e due parametri liberi, quindi $dim(V nnn W)=2$. Allora, si ha che la dimensione di $U$ è 4.
E' corretto?
Ne approfitto per risolvere un dubbio circa la risoluzione di sistemi lineari: nel secondo esercizio, risolvendo il sistema formato dalle due equazioni lineari in $R^4$, in entrambe non figurava la variabile z. Ebbene, a questo punto si ha semplicemente z=0 oppure, come ho fatto io, z= parametro libero?
Vi ringrazio, spero possiate scacciarmi questi dubbi!
Risposte
Nuovo esercizio:
si determini la dimensione del sottospazio $U=V+W$ di $R^5$, essendo $V=L(e1,e1-e3), W=L(e1,e2,e4)$.
Per risolvere questo esercizio, credo basti determinare il rango della matrice formata da questi vettori della base canonica: esso ci dirà il numero massimo di vettori lineramente indipendenti, ovverosia la dimensione del sottospazio somma che cerchiamo. Dai calcoli (ho considerato la base e1 una sola volta, visto che è comune ad entrambi i sottospazi V e W...ho fatto bene?), si evince che sono nulli tutti i minori di ordine 4, mentre è possibile estrarre un minore di ordine 3 diverso da zero. Il rango è perciò 3, ovverosia la dimensione è 3. Giusto?
si determini la dimensione del sottospazio $U=V+W$ di $R^5$, essendo $V=L(e1,e1-e3), W=L(e1,e2,e4)$.
Per risolvere questo esercizio, credo basti determinare il rango della matrice formata da questi vettori della base canonica: esso ci dirà il numero massimo di vettori lineramente indipendenti, ovverosia la dimensione del sottospazio somma che cerchiamo. Dai calcoli (ho considerato la base e1 una sola volta, visto che è comune ad entrambi i sottospazi V e W...ho fatto bene?), si evince che sono nulli tutti i minori di ordine 4, mentre è possibile estrarre un minore di ordine 3 diverso da zero. Il rango è perciò 3, ovverosia la dimensione è 3. Giusto?
Accidenti, è vero!Non mi ero proprio accorto!=P Considera che l'esercizio l'avevo risolto su un foglio di brutta copia già carico di altri esercizi, e tra cancellature e cose varie non l'avevo notato!Quindi la dimensione è 4. Ah, e1 allora si considera una sola volta oppure due? E gli altri esercizi del post precedente stanno bene? Ti ringrazio per la correzione che mi hai fatto!!;)
Perdonami, ma sono "sotto esame" e non ho tempo di rifarmi i conti (seguirei un approccio diverso dal tuo e dovrei ripartire da zero).
Non c'è problema, figurati...
Mi basta solo sapere se il procedimento è corretto
Grazie per avermi chiarito ogni dubbio, e scusami se ti ho fatto perdere tempo! Il mio procedimento è quello utilizzato dal libro da cui ho studiato. Però ho notato che il tuo è molto più semplice e chiaro!!
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