Dimostrazione che tr (AB) = tr (BA)

[Zkeggia]

Salve, non riesco a trovare questa dimostrazione, la danno tutti per scontata a quanto pare , ho provato a farla io, ma non so se ho sbagliato qualcosa
$[AB]_hh$ = $\sum_{i=1}^N [A]_(ih)_(hi)$ per definizione di prodotto di matrici.
la traccia è la somma degli elementi sulla diagonale:
$\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N [A]_(ih)_(hi)$

ora dobbiamo dimostrare che $tr (AB) = tr (BA)$
cioè che:
$\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N [A]_(ih)_(hi)$ = $\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N _(ih)[A]_(hi)$

Ma a questo puntosbaglio o la dimostrazione è finita? cioè questa equazione è valida sempre per le proprietà della sommatoria? non so. Potreste darmi una mano? grazie

[fu^2]

"Zkeggia":Salve, non riesco a trovare questa dimostrazione, la danno tutti per scontata a quanto pare , ho provato a farla io, ma non so se ho sbagliato qualcosa
$[AB]_(hh)$ = $\sum_{i=1}^N [A]_(ih)_(hi)$ per definizione di prodotto di matrici.
la traccia è la somma degli elementi sulla diagonale:
$\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N [A]_(ih)_(hi)$

guarda che hai invertito gli ordini, in generale $[AB]_{ik}=sum_{j=1}^Na_{ij}b{jk}$ quindi quella che tu hai scritto è il prodotto $[BA]$ se noti hai fatto colonna di $A$ per riga di $B$ invece è il contrario.

ora dobbiamo dimostrare che $tr (AB) = tr (BA)$
cioè che:
$\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N [A]_(ih)_(hi)$ = $\sum_{h=1}^N sum_{i=1}^N _(ih)[A]_(hi)$

Ma a questo puntosbaglio o la dimostrazione è finita? cioè questa equazione è valida sempre per le proprietà della sommatoria? non so. Potreste darmi una mano? grazie

si, oppure scritto in formule le tue ultime righe (cioè il fatto che puoi scambiare le somme) diventano:

$tr(AB)=sum_{h=1}^N[AB]_{hh}=sum_{h=1}^Nsum_{i=1}^Na_{hi}b_{hi}=sum_{h,i=1}^Na_{hi}b_{ih}=sum_{i,h=1}^Na_{hi}b_{ih}=sum_{i,h=1}^Nb_{hi}a_{ih}=sum_{i=1}^N[BA]_{ii}=tr(BA)

[Zkeggia]

ops è vero avevo scambiato gli indici, scusa, grazie per l'attenzione