Distanze
Ho sempre qualche problema con le distanze. L'unico metodo che conosco per calcolare la distanza dei punti $A$ e $B$ è calcolare la norma del vettore $A-B$. Quindi volevo chiedervi aiuto per questi due problemi che non riesco a risolvere. Il primo sono arrivato ad un certo punto esplorando in modo intuitivo ma questo punto s'è rivelato un vicolo cieco, non so se per errori di calcolo, dimenticanze o proprio errori di concetto. Il secondo invece è un problema che non riesco ad affrontare in quanto non so proprio come impostarne la risoluzione fin dall'inizio. Se riusciste a darmi una mano ve ne sarei grato 
(1)
Sono in $E^5$ con riferimento cartesiano. Devo calcolare la distanza di $P=(1,1,0,-1,-1)$ dalla retta $r: x_1=x_3=x_5=2-x_2=x_4$. Io ho pensato di calcolare la perpendicolare ad $r$ per $P$, trovarne il piede $Q \in r$ e calcolare la distanza tra $P$ e $Q$. Trasformando la retta in forma parametrica ho ottenuto che il suo vettore di direzione è $v=(1,-1,1,-1,1)$ e passa per il punto $R=(0,0,0,2,2)$. Ora io ho considerato il vettore $w=P-R=(1,1,0,-3,-3)$ in modo da poter trovare la giacitura $W=L(v,w)$ del piano contente la retta e $P$. Ho trovato poi, tramite il prodotto scalare, la forma che deve avere un vettore $u=(a,b,c,d,e)$ per essere ortogonale a $v$, ovvero $a-b+c-d+e=0$. A questo punto, essendo la perpendicolare ad $r$ complanare ad $r$ stessa, ho che il vettore di direzione $u$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della giacitura del piano.
$u=\lambda v + \mu w \to (a,b,c,d,e)=\lambda (1,-1,1,-1,1) + \mu (1,1,0,-3,-3)=(\lambda + \mu, -\lambda + \mu , \lambda , -\lambda - 3\mu, \lambda - 3\mu)$
Vi ho applicato la condizione di ortogonalità: $a-b+c-d+e=0 \to \lambda +\mu +\lambda -\mu +\lambda +\lambda +3\mu +\lambda -3\mu = 5\lambda = 0 \to \lambda = 0$. Ovvero ottengo che $(\mu,\mu,0,-3\mu,-3\mu)$ $\forall \mu$. Pongo per comodità $\mu = 1$ ottenendo $(1,1,0,-3,-3)$.
Costruisco quindi la retta:
$x_1=1+t$
$x_2=1+t$
$x_3=0$
$x_4=-1-3t$
$x_5=-1-3t$
Che in forma cartesiana viene:
$x_1=x_2$
$x_4=x_5$
$x_3=0$
$x_4=3x_1-4$
Questa dovrebbe essere la retta perpendicolare a $r$ e passante per $P$. Però noto che non si interseca mai con $r$ in quanto la condizione $x_1=x_3=x_5$ non si verifica mai. Cosa ho sbagliato? Esiste un metodo più veloce od elegante per calcolare questo tipo di distanze?
(2)
Un altro problema mi chiede, sempre in $E^5$ con riferimento cartesiano, di trovare l'equazione cartesiana degli iperpiani ortogonali ad una retta $s$ con distanza $d=1$ dall'origine $O$ del riferimento. La retta $s$ ha direzione $v_s=(1,1,1,-1,-1)$ e passa per l'origine $O$.
Qui non so proprio dove mettere le mani sincermanete.
(1)
Sono in $E^5$ con riferimento cartesiano. Devo calcolare la distanza di $P=(1,1,0,-1,-1)$ dalla retta $r: x_1=x_3=x_5=2-x_2=x_4$. Io ho pensato di calcolare la perpendicolare ad $r$ per $P$, trovarne il piede $Q \in r$ e calcolare la distanza tra $P$ e $Q$. Trasformando la retta in forma parametrica ho ottenuto che il suo vettore di direzione è $v=(1,-1,1,-1,1)$ e passa per il punto $R=(0,0,0,2,2)$. Ora io ho considerato il vettore $w=P-R=(1,1,0,-3,-3)$ in modo da poter trovare la giacitura $W=L(v,w)$ del piano contente la retta e $P$. Ho trovato poi, tramite il prodotto scalare, la forma che deve avere un vettore $u=(a,b,c,d,e)$ per essere ortogonale a $v$, ovvero $a-b+c-d+e=0$. A questo punto, essendo la perpendicolare ad $r$ complanare ad $r$ stessa, ho che il vettore di direzione $u$ può essere espresso come combinazione lineare dei vettori della giacitura del piano.
$u=\lambda v + \mu w \to (a,b,c,d,e)=\lambda (1,-1,1,-1,1) + \mu (1,1,0,-3,-3)=(\lambda + \mu, -\lambda + \mu , \lambda , -\lambda - 3\mu, \lambda - 3\mu)$
Vi ho applicato la condizione di ortogonalità: $a-b+c-d+e=0 \to \lambda +\mu +\lambda -\mu +\lambda +\lambda +3\mu +\lambda -3\mu = 5\lambda = 0 \to \lambda = 0$. Ovvero ottengo che $(\mu,\mu,0,-3\mu,-3\mu)$ $\forall \mu$. Pongo per comodità $\mu = 1$ ottenendo $(1,1,0,-3,-3)$.
Costruisco quindi la retta:
$x_1=1+t$
$x_2=1+t$
$x_3=0$
$x_4=-1-3t$
$x_5=-1-3t$
Che in forma cartesiana viene:
$x_1=x_2$
$x_4=x_5$
$x_3=0$
$x_4=3x_1-4$
Questa dovrebbe essere la retta perpendicolare a $r$ e passante per $P$. Però noto che non si interseca mai con $r$ in quanto la condizione $x_1=x_3=x_5$ non si verifica mai. Cosa ho sbagliato? Esiste un metodo più veloce od elegante per calcolare questo tipo di distanze?
(2)
Un altro problema mi chiede, sempre in $E^5$ con riferimento cartesiano, di trovare l'equazione cartesiana degli iperpiani ortogonali ad una retta $s$ con distanza $d=1$ dall'origine $O$ del riferimento. La retta $s$ ha direzione $v_s=(1,1,1,-1,-1)$ e passa per l'origine $O$.
Qui non so proprio dove mettere le mani sincermanete.
Risposte
Per la (1) ti consiglio di provare qualche metodo più rapido. Quello che hai usato tu è formalmente corretto ma richiede troppi conti. Un'alternativa può essere questa:
prendi un punto $R$ della retta, arbitrariamente. Considera il vettore $vec(PR)$ che è facile da calcolare. Se consideri lo spazio $W$, ortogonale alla direzione della retta (di cui è immediato calcolare una base(*), se ci pensi un po'), risulta che la proiezione ortogonale di $vec(PR)$ su $W$ è proprio il vettore $vec(PQ)$ come lo hai chiamato tu, dove $Q$ è il piede della perpendicolare ad $r$ per $P$.
La (2) effettivamente è più complicata. Per cominciare, potresti usare lo stesso trucco a cui ho fatto riferimento qui (*) per trovare la giacitura degli iperpiani ortogonali ad $s$. A quel punto si può imporre la condizione di distanza e fine. Probabilmente ci sono metodi più furbi ma non mi vengono in mente. Questo mi pare che possa funzionare però.
prendi un punto $R$ della retta, arbitrariamente. Considera il vettore $vec(PR)$ che è facile da calcolare. Se consideri lo spazio $W$, ortogonale alla direzione della retta (di cui è immediato calcolare una base(*), se ci pensi un po'), risulta che la proiezione ortogonale di $vec(PR)$ su $W$ è proprio il vettore $vec(PQ)$ come lo hai chiamato tu, dove $Q$ è il piede della perpendicolare ad $r$ per $P$.
La (2) effettivamente è più complicata. Per cominciare, potresti usare lo stesso trucco a cui ho fatto riferimento qui (*) per trovare la giacitura degli iperpiani ortogonali ad $s$. A quel punto si può imporre la condizione di distanza e fine. Probabilmente ci sono metodi più furbi ma non mi vengono in mente. Questo mi pare che possa funzionare però.
Innanzitutto grazie.
In merito alla (1) ho provato in questo modo:
Deduco che $dim(perp(r))=4$ ed ho cercato quattro vettori linearmente indipendenti che soddisfacessero la condizione di ortogonalità $a-b+c-d+e=0$. Quindi trovo che $r \bot W=L((1,1,0,0,0),(0,0,1,1,0,0),(0,1,0,0,1),(0,1,1,0,0))$ ed imponendo il passaggio per $P=(1,1,0,-1,-1)$ ottengo l'iperpiano $\pi : x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=0$ di giacitura W.
Cercando quindi l'intersezione tra $\pi$ ed $r$ ho trovato il punto $Q=(4/5,4/5,4/5,6/5,6/5)$ che dovrebbe essere il piede della perpendicolare.
Ne viene che la distanza mi risulta essere $d=4sqrt(2)$. È giusto così?
In merito alla (1) ho provato in questo modo:
Deduco che $dim(perp(r))=4$ ed ho cercato quattro vettori linearmente indipendenti che soddisfacessero la condizione di ortogonalità $a-b+c-d+e=0$. Quindi trovo che $r \bot W=L((1,1,0,0,0),(0,0,1,1,0,0),(0,1,0,0,1),(0,1,1,0,0))$ ed imponendo il passaggio per $P=(1,1,0,-1,-1)$ ottengo l'iperpiano $\pi : x_1-x_2+x_3-x_4+x_5=0$ di giacitura W.
Cercando quindi l'intersezione tra $\pi$ ed $r$ ho trovato il punto $Q=(4/5,4/5,4/5,6/5,6/5)$ che dovrebbe essere il piede della perpendicolare.
Ne viene che la distanza mi risulta essere $d=4sqrt(2)$. È giusto così?
"Injo":
Deduco che $dim(perp(r))=4$ ed ho cercato quattro vettori linearmente indipendenti che soddisfacessero la condizione di ortogonalità
Allora, un attimo. Nel post precedente col il (*) mi riferivo a questo trucco che non so se conosci (dal tuo post non riesco a capirlo). A me pare molto utile per risparmiarsi dei conti.
Se abbiamo una retta in $RR^2$, ad esempio $x+y=0$, e vogliamo trovare un vettore ortogonale alla sua direzione, possiamo farlo molto in fretta. In questo caso la retta è la bisettrice del II°-IV° quadrante e una direzione ortogonale, come si capisce subito, è $(1, 1)$. Scriviamo l'equazione della retta in forma matriciale: $(1, 1)((x-0), (y-0))=0$, dove ho preso $(0,0)$ come un punto appartenente alla retta. E, guarda caso, è saltato fuori il nostro $(1, 1)$.
Questo è un caso generale: se l'equazione di un sottospazio (affine) è $M(x-x_0)=0$, le righe di $M$ formano un sistema di generatori dello spazio ortogonale alla giacitura. (E se $M$ ha tante righe quanto il suo rango, allora il sistema di generatori sarà una base). Naturalmente non è detto che questa base sia ortonormale, cosa che ci serve ... Ma intanto è una base. E non abbiamo fatto nemmeno un'addizione.
(Se conoscevi già questo trucco, meglio ancora).
Poi, tu hai trovato esplicitamente l'equazione dell'iperpiano $W$ (ortogonale alla direzione della retta). Niente di male, ma io invece salterei questo passaggio che mi pare ridondante. Come dicevo nel post precedente, a noi serve solo il vettore $vec(PQ)$. Giusto? Per la precisione ci serve la sua lunghezza. Ma scelto un punto arbitrario in $r$, diciamo $R$, possiamo scrivere $vec(PR)=vec(PQ)+vec(QR)$. Il primo vettore, quello che ci serve, è ortogonale a $r$. Il secondo è sulla direzione di $r$. Perciò questa non è altro che la decomposizione $vec(PR)="proj"(PR)+[vec(PR)-"proj"(PR)]$ dove $"proj"$ è la proiezione ortogonale alla direzione di $r$.
In particolare $vec(PQ)="proj"(vec(PR))$. Quindi tutto il discorso si è ridotto a calcolare la proiezione ortogonale di un vettore $vec(PR)$, dove $R$ è un punto arbitrario su $r$. Questo volevo dire col post precedente.
Chiaramente sei libero di calcolare esplicitamente l'equazione dell'iperpiano ortogonale, l'intersezione, e la norma. Non è errato.
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