[Teoria, Algebra] Sottospazio f. g. = spazio f. g.
So che esiste questo teorema:
"Se V è uno spazio finitamente generabile e H è un suo sottospazio, allora H sarà a sua volta uno spazio vettoriale finitamente generabile".
Come dimostrereste voi questo teorema. Come al solito, provandoci, mi sono impelagato. Chiedo, tanto per cambiare, il vostro aiuto.
Io ho provato a identificare prima il sottospazio H, i vettori che ne facessero parte, e successivamente ho provato a verificare le proprietà che identificano uno spazio vettoriale su un determinato campo:
1) $(V, +)$ gruppo abeliano, 2) $\alpha (u +v)= \alpha u + \alpha v$ 3) $(\alpha + \beta) v= \alpha v + \betav$, 4) $1 v= v$ (con uno elemento neutro rispetto al prodotto per ogni campo scelto), , 5) $\alpha (u v) = (\alpha u) v$
(le lettere greche indicano elementi scalari del campo, quelle latine elementi vettoriali).
Ho pensato che, se la proprietà vale per tutti i vettori di tra loro, varrà anche per particolari vettori di $V$, ossia per i vettori del sottospazio $H$. Ma non riesco a capire come legare le proprietà del sottospazio (le tre consuete: 1) l'essere non vuoto, 2) chiusura rispetto alla somma, 3) chiusura rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare) a quelle dello spazio.
Chi mi aiuta?
"Se V è uno spazio finitamente generabile e H è un suo sottospazio, allora H sarà a sua volta uno spazio vettoriale finitamente generabile".
Come dimostrereste voi questo teorema. Come al solito, provandoci, mi sono impelagato. Chiedo, tanto per cambiare, il vostro aiuto.
Io ho provato a identificare prima il sottospazio H, i vettori che ne facessero parte, e successivamente ho provato a verificare le proprietà che identificano uno spazio vettoriale su un determinato campo:
1) $(V, +)$ gruppo abeliano, 2) $\alpha (u +v)= \alpha u + \alpha v$ 3) $(\alpha + \beta) v= \alpha v + \betav$, 4) $1 v= v$ (con uno elemento neutro rispetto al prodotto per ogni campo scelto), , 5) $\alpha (u v) = (\alpha u) v$
(le lettere greche indicano elementi scalari del campo, quelle latine elementi vettoriali).
Ho pensato che, se la proprietà vale per tutti i vettori di tra loro, varrà anche per particolari vettori di $V$, ossia per i vettori del sottospazio $H$. Ma non riesco a capire come legare le proprietà del sottospazio (le tre consuete: 1) l'essere non vuoto, 2) chiusura rispetto alla somma, 3) chiusura rispetto al prodotto di un vettore per uno scalare) a quelle dello spazio.
Chi mi aiuta?
Risposte
Ma non avevamo già visto insieme un teorema a questo proposito? Mi pare che tu lo chiamassi "di Steiniz" ... non mi ricordo, era il nome di un cecoslovacco mi pare.
Steinitz dice che se un sistema di vettori indipendenti ha i suoi vettori che dipendono da un sistema di generatori per uno spazio vettoriale, allora ha cardinalità minore o uguale a quella del sistema di generatori.
Onestamente non so come risalire da Steinitz a dimostrare che un sottospazio di uno spazio sia a sua volta uno spazio vettoriale finitamente generabile.
Al massimo questo teorema può intervenire a posteriori, quando si deve dimostrare che un sottospazio vettoriale ha dimensione minore di quella dello spazio cui appartiene.
Non so se sono chiaro.
Onestamente non so come risalire da Steinitz a dimostrare che un sottospazio di uno spazio sia a sua volta uno spazio vettoriale finitamente generabile.
Al massimo questo teorema può intervenire a posteriori, quando si deve dimostrare che un sottospazio vettoriale ha dimensione minore di quella dello spazio cui appartiene.
Non so se sono chiaro.
Sì hai ragione: con questo teorema potrai dire, dopo aver dimostrato l'esistenza di una base di $H$, che questa contiene meno elementi di una base di $V$.
Per venire alla faccenda che ti dà problemi, io procederei per assurdo. Mi pare la cosa più logica: in fondo l'utilità degli spazi vettoriali di dimensione finita sta nel fatto che sono "simili" agli insiemi finiti. In un insieme $S$ di $n$ elementi, potremo mai trovare un sottoinsieme $T$ con un numero infinito di elementi? No: se questo fosse possibile, anche $S$ avrebbe infiniti elementi. Prova a generalizzare al tuo spazio vettoriale $V$ e al suo sottospazio $H$.
Per venire alla faccenda che ti dà problemi, io procederei per assurdo. Mi pare la cosa più logica: in fondo l'utilità degli spazi vettoriali di dimensione finita sta nel fatto che sono "simili" agli insiemi finiti. In un insieme $S$ di $n$ elementi, potremo mai trovare un sottoinsieme $T$ con un numero infinito di elementi? No: se questo fosse possibile, anche $S$ avrebbe infiniti elementi. Prova a generalizzare al tuo spazio vettoriale $V$ e al suo sottospazio $H$.
Quello che scrivi risponde solo a una parte della questione, e cioè al fatto che i sottospazi vettoriali di spazi vettoriali finitamente generabili devono essere "insiemi finitamente generabili" (perdonami l'orrore tra virgolette, alla fine è giustificato da quanto scrivo dopo, in ogni caso ti sono grato perchè mi hai aperto gli occhi su un lato della questione che non avevo considerato). Alla fine, come lessi tempo fa anche da wikipedia, un sottospazio è un ente avente proprietà tali da renderlo a sua volta spazio vettoriale. La distinzione tra i due termini, allora, verrebbe fatta solo quando si deve intendere chiaramente uno spazio come parte di un altro spazio (es. piani e spazi, rette e piani, etc. ). In tal senso allora chiameremo la parte sottospazio e l'insieme contenente la parte, spazio. Però è la parte in grassetto che mi frega, che non riesco a dimostrare.
Ho provato a mettermi lì, buono buono, a cercare di verificare tutte le proprietà degli spazi prendendo due vettori qualsiasi del sottospazio. Per alcune è stato semplice, per altre mi sembrava di girare a vuoto. Per questo, chiedo aiuto.
Ho provato a mettermi lì, buono buono, a cercare di verificare tutte le proprietà degli spazi prendendo due vettori qualsiasi del sottospazio. Per alcune è stato semplice, per altre mi sembrava di girare a vuoto. Per questo, chiedo aiuto.
Ma quella è la definizione di sottospazio. Se tu dici: $H$ è un sottospazio di $V$, non hai bisogno di verificarlo. Anzi non ha proprio senso fare una cosa del genere: hai dichiarato $H$ come un sottospazio? Quindi per definizione $H$ è un sottoinsieme di $V$ che verifica gli assiomi di spazio vettoriale. Che significa dire che prendi due vettori e verifichi... Ma cosa? Tu devi solo dimostrare che $H$ non può avere dimensione infinita.
A me la cosa allora è stata presentata in maniera diversa. E' chiaro che si arriva alle stesse conclusioni, alla fine.
Ma un sottospazio a me è stato presentato come un sottoinsieme di $V$ avente determinate proprietà (quelle da me elencate), che semmai solo successivamente viene dimostrato essere uno spazio vettoriale.
Magari è capitato come l'altra volta (presentazione diversa degli stessi concetti tra loro legati che io, nella mia fissità ormai incorreggibile, credevo potessero essere presentati in modo unico).
Alla fine, potrebbe essere semplice: i vettori di $H$ sono contemporaneamente vettori di V, e quindi per le proprietà in cui si dice "per ogni coppia di vettori di V, vale...", si può dimostrare che $H$ ha quelle proprietà perchè composto da particoalri vettori di $V$.
Per quanto riguarda però la prima proprietà, solo la prima proprietà, io dovrei dimostrare che $(H, +)$ è un gruppo abeliano.
E credimi, a meno di distrazioni, o cose simili, non ci riesco ancora. O meglio, ci riesco pure, ma una formulazione matematica convincente non riesco a darmela, quindi preferisco chiedere aiuto.
Ti posto il mio tentativo:
Si tratterebbe di dimostrare solo che esiste l'elemento neutro rispetto alla somma (vettore nullo, presente in tutti i sottospazi) e che esiste il simmetrico rispetto all'elemento neutro (il vettore $(-1) v$, per ogni $v$ appartenente a $V$). O almeno credo.
Io penso sia necessario, per come mi sono state formulate le proprietà di un sottospazio, fare questo "lavoro inutile". Proprio perchè un sottospazio vettoriale non è ancora (lo devo appunto dimostrare) un sottoinsieme di $V$ che verifica le proprietà dello spazio.
Non so se mi spiego anche qui.
Ma un sottospazio a me è stato presentato come un sottoinsieme di $V$ avente determinate proprietà (quelle da me elencate), che semmai solo successivamente viene dimostrato essere uno spazio vettoriale.
Magari è capitato come l'altra volta (presentazione diversa degli stessi concetti tra loro legati che io, nella mia fissità ormai incorreggibile, credevo potessero essere presentati in modo unico).
Alla fine, potrebbe essere semplice: i vettori di $H$ sono contemporaneamente vettori di V, e quindi per le proprietà in cui si dice "per ogni coppia di vettori di V, vale...", si può dimostrare che $H$ ha quelle proprietà perchè composto da particoalri vettori di $V$.
Per quanto riguarda però la prima proprietà, solo la prima proprietà, io dovrei dimostrare che $(H, +)$ è un gruppo abeliano.
E credimi, a meno di distrazioni, o cose simili, non ci riesco ancora. O meglio, ci riesco pure, ma una formulazione matematica convincente non riesco a darmela, quindi preferisco chiedere aiuto.
Ti posto il mio tentativo:
Si tratterebbe di dimostrare solo che esiste l'elemento neutro rispetto alla somma (vettore nullo, presente in tutti i sottospazi) e che esiste il simmetrico rispetto all'elemento neutro (il vettore $(-1) v$, per ogni $v$ appartenente a $V$). O almeno credo.
Io penso sia necessario, per come mi sono state formulate le proprietà di un sottospazio, fare questo "lavoro inutile". Proprio perchè un sottospazio vettoriale non è ancora (lo devo appunto dimostrare) un sottoinsieme di $V$ che verifica le proprietà dello spazio.
Non so se mi spiego anche qui.
mannaggia... 
No, guarda, non sono per nulla d'accordo con te. Se tu dici: "sia $x$ un numero positivo", poi che fai, dimostri che $x$ è un numero positivo?
No, guarda, non sono per nulla d'accordo con te. Se tu dici: "sia $x$ un numero positivo", poi che fai, dimostri che $x$ è un numero positivo?
Se mi venisse presentato un sottospazio come un semplice sottoinsieme di v che verifica le proprietà dello spazio, allora mi potrei convincere. Ma il sottospazio mi viene presentato come un ente che appartiene ad uno spazio, e nulla mi dice che "alcuni" elementi di V verificano tutte le proprietà con cui V li mette in correlazione.
Comunque ci dormo su, magari sono troppo stanco stasera. Grazie ancora di tutto.
Comunque ci dormo su, magari sono troppo stanco stasera. Grazie ancora di tutto.
Questa questione l'avevamo già affrontata tempo fa turtle...
Per la dimostrazione, basta tenere presente che sistemi liberi in $H$ sono pure liberi in $V$ e che, di conseguenza, la cardinalità massima di un sistema libero in $H$ non può dunque superare $"dim "V$. Pertanto ogni base di $H$ (certamente esistente per noti fatti) ha cardinalità minore di $"dim "V$ ed $H$ è necessariamente finitamente generato.
Poi, sinceramente, non capisco le tue difficoltà con la definizione di sottospazio...
Per la dimostrazione, basta tenere presente che sistemi liberi in $H$ sono pure liberi in $V$ e che, di conseguenza, la cardinalità massima di un sistema libero in $H$ non può dunque superare $"dim "V$. Pertanto ogni base di $H$ (certamente esistente per noti fatti) ha cardinalità minore di $"dim "V$ ed $H$ è necessariamente finitamente generato.
Poi, sinceramente, non capisco le tue difficoltà con la definizione di sottospazio...
Questa questione l'avevamo già affrontata tempo fa turtle...
E' vero, hai ragione. In effetti l'avevo postata anche una volta precedente a quella in cuis ei intervenuto tu. Perchè questo? Perchè evidentemente o non la lessi più per sopraggiunti motivi (e mi dimenticai di averla postata) oppure perchè mi pareva di non capire. Mi pare, e non me ne devo certamente vantare, che questo sia capitato anche per altri argomenti.
Dicembre è stato nero per me, quindi tutto quello vi ho fatto è come se fosse stato dimenticato, in qualsiasi campo della mia esistenza.
Scusami, in ogni caso mi è stato utile adesso leggere i tuoi interventi e quelli di ViciousGoblin. Non sono andati persi.
Poi, sinceramente, non capisco le tue difficoltà con la definizione di sottospazio... Forse potrebbe esserti utile provare questo teorema:
Citazione:
Siano K un campo, (V,+V,⋅V) un K-spazio vettoriale ed H⊆V non vuoto.
Se H è chiuso rispetto a +V e ⋅V (ossia se ∀x,y∈H,∀α∈K,risultax+Vy,α⋅Vx∈H), in altre parole se H è un sottospazio di V, allora le operazioni:
+H:H×H→H; (x,y)↦x+Vy e ⋅H:K×H→H;(α,x)↦α⋅Vx
(che sono le restrizioni di +V e ⋅V rispettivamente ad H2 e a K×H) muniscono H della struttura di K-spazio vettoriale, nel senso che (H,+H,⋅H) è un K-spazio vettoriale.
Penso che sia esattamente questo che voglio provare. Anche se non capisco i simboli $(x,y)↦x+Vy$ e $(α,x)↦α⋅Vx$, che magari non si scrivono nemmeno come li ho scritti io (mi pare di vedere così).
Se vai su wikipedia, c'è scritto:
"Un sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale V è un sottoinsieme W che eredita da V una struttura di spazio vettoriale. Per ereditare questa struttura, è sufficiente che W sia chiuso rispetto alle due operazioni di somma e prodotto per scalare. "
Io voglio dimostrare perchè sia sufficiente far vedere che W sia chiuso rispetto alle operazioni di somma e prodotto. Che se ho capito bene i simboli è proprio quanto scrivi tu.
Chiedo: Per dimostrare che un insieme sia uno spazio vettoriale (su un campo K) è sufficiente provare la chiusura dei suoi elementi rispetto alle due operazioni, somma e prodotto?
Infine: Wikipedia aggiunge che:
"Queste proprietà (le proprietà di chiusura) garantiscono che le operazioni di somma e di prodotto per scalare di V siano ben definite anche quando sono ristrette a W. A questo punto, i 10 assiomi che garantiscono che V sia uno spazio vettoriale valgono anche per W, e quindi anche W è uno spazio vettoriale."
Quello che non riesco a capire, ripetendo per l'ennesima volta, seppur con linguaggio diverso, la stessa cosa,
è come facciano a garantirlo.
"turtle87":
Quello che scrivi risponde solo a una parte della questione, e cioè al fatto che i sottospazi vettoriali di spazi vettoriali finitamente generabili devono essere "insiemi finitamente generabili" (perdonami l'orrore tra virgolette, alla fine è giustificato da quanto scrivo dopo, in ogni caso ti sono grato perchè mi hai aperto gli occhi su un lato della questione che non avevo considerato). Alla fine, come lessi tempo fa anche da wikipedia, un sottospazio è un ente avente proprietà tali da renderlo a sua volta spazio vettoriale. La distinzione tra i due termini, allora, verrebbe fatta solo quando si deve intendere chiaramente uno spazio come parte di un altro spazio (es. piani e spazi, rette e piani, etc. ). In tal senso allora chiameremo la parte sottospazio e l'insieme contenente la parte, spazio. Però è la parte in grassetto che mi frega, che non riesco a dimostrare.
Ho provato a mettermi lì, buono buono, a cercare di verificare tutte le proprietà degli spazi prendendo due vettori qualsiasi del sottospazio. Per alcune è stato semplice, per altre mi sembrava di girare a vuoto. Per questo, chiedo aiuto.
Scusa se per pigrizia non ho letto con attenzione tutti i messaggi ( e forse quanto dico ora e' superato), ma mi pare che il tuo problema risieda appunto nella definizione di sottospazio.
Dove hai trovato la definizione in grassetto ? Era scritta proprio cosi' ?
Perche' la trovo assai strana. Prima di tutto c'e' scritto un sottospazio, senza precisare se si intenda un sottospazio di qualcosa o un sottospazio in assoluto. Nel secondo caso la definizione direbbe
solo un sottospazio e' un ( altro ??) spazio vettoriale. Se invece si tratta si una definizione relativa - sottospazio di un assegnato spazio vettoriale $V$ - e' ben strano che $V$ non entri nella definizione.
Secondo me da qualche parte c'era scritto che l'ente in questione e' un sottoinsieme di $V$ (e questa e' la nozione che conosco io di sottospazio) Se e' cosi' ho l'impressione che i tuoi problemi siano risolti (o no?)
Riporto il testo della proposizione (che ho cancellato nel vecchio post, dato che era tardissimo e mi pareva di non aver afferrato il problema):
Come vedi ci sono diverse operazioni in gioco: quelle del campo $K$ sono denotate come al solito, mentre quelle relative a $V$ ed a $H$ sono denotate con il nome del sostegno come pedice (ad esempio la somma di $K$ è $+$, mentre la somma di $V$ è $+_V$ e la "somma" di $H$ è $+_H$). La notazione è un po' pesante ma contribuisce a non confondersi.
La dimostrazione si fa in qualche riga e te la riporto, così forse riesci a chiarirti le idee.
Dim.: Dobbiamo verificare che: 1) $(H,+_H)$ è un gruppo commutativo; 2) $*_H$ è un prodotto per lo scalare in $H$.
1) Innanzitutto notiamo che essendo $AAx,y in H, x+_Vy\in H$, l'operazione $+_H$ è effettivamente un'operazione interna ad $H$.
Fissiamo $x,y,z\in H$ ed abbiamo:
$(x+_Hy)+_Hz:=(x+_Vy)+_Vz=" tenendo presente che "+_V" è associativa "=x+_V(y+_Vz)=: x+_H(y+_Hz)$
$x+_Hy:= x+_Vy=" tenendo presente che "+_V" è commutativa"=y+_Vx =: y+_Hx$
cosicché $+_H$ è associativa e commutativa.
Per le regole di calcolo in $V$, fissato un qualsiasi $u\in H$, si ha $0_V=0*_Vu$ (in cui $0_V$ è il vettore nullo di $V$ e $0$ è lo zero di $K$); visto che $H$ è chiuso rispetto a $*_V$ troviamo $0_V \in H$ e, per fissato $x\in H$, abbiamo:
$\{(x+_H0_V:= x+_V0_V=x),(0_V+_Hx :=0_V+_Vx = x):}$
onde $0_V$ è l'elemento neutro di $H$ rispetto a $+_H$.
Fissato $x \in H$, per le regole di calcolo in $V$ si ha $-x=(-1)*_Vx$ e la chiusura di $H$ rispetto a $*_V$ implica che $-x \in H$; ora abbiamo anche:
$x+_H(-x):=x+_V(-x)=0_V=(-x)+_Vx=: (-x)+_Hx$
quindi $-x$ è l'opposto di $x$ rispetto a $+_H$. Ne consegue che $(H,+_H)$ è un gruppo commutativo.
2) Innanzitutto notiamo che la chiusura di $H$ rispetto a $*_V$ garantisce che $*_H$ è un'operazione a risultato in $H$.
Provare che $*_H$ è un prodotto scalare equivale a dire che bisogna provare le seguenti quattro proprietà: $AAx,y\in H, AAalpha,beta in K,$
a. $\quad alpha*_H(x+_Hy)=alpha*_Hx+_Halpha*_Hy$;
b. $\quad (alpha+beta)*_Hx=alpha*_Hx+_Hbeta*_Hx$;
c. $\quad (alpha*beta)*_Hx=alpha*_H(beta*_Hx)$;
d. $\quad 1*_Hx=x$.
La a.: abbiamo $alpha*_H(x+_Hy) := alpha*_V(x+_Vy)=" per le proprietà del prodotto scalare di " V =alpha*_Vx+_Valpha*_Vy=: alpha*_Hx+_Halpha*_Hy$.
La b.: abbiamo $(alpha+beta)*_Hx :=(alpha+beta)*_Vx=" per le proprietà del prodotto scalare di "V =alpha*_Vx+_Vbeta*_Vx =:alpha*_Hx+_Hbeta*_Hx$.
La c.: abbiamo $(alpha*beta)*_Hx :=(alpha*beta)*_Vx=" per le proprietàdel prodotto scalare di "V =alpha*_V(beta*_Vx) =:alpha*_H(beta*_Hx)$.
La d.: abbiamo $1*_Hx=1*_Vx=" per le proprietà del prodotto scalare di "V =x$.
Pertanto $*_H$ è un prodotto scalare.
Mettendo insieme 1) e 2) concludiamo che $(H,+_H,*_H)$ è un $K$-spazio vettoriale.
P.S.: Spero vivamente tu stia studiando da un libro e non da wikipedia...
Siano $(K,+,*)$ un campo, $(V,+_V,*_V)$ un $K$-spazio vettoriale e $H\subseteq V$ non vuoto.
Se $H$ è chiuso rispetto alle operazioni $+_V$ e $*_V$ (ovvero se $AA x,y\in H, AA alpha \in K$ risulta $x+_Vy,alpha*_Vx \in H$), allora le restrizioni $+_H,*_H$ di $+_V,*_V$ rispettivamente a $H\times H$ e $K\times H$ definite ponendo:
$+_H: H\times H\to H ;(x,y) \mapsto x+_Vy\quad$ e $\quad *_H:K\times H\to H; (alpha, x)\mapsto alpha*_Vx$
muniscono $H$ della struttura di $K$-spazio vettoriale.
Come vedi ci sono diverse operazioni in gioco: quelle del campo $K$ sono denotate come al solito, mentre quelle relative a $V$ ed a $H$ sono denotate con il nome del sostegno come pedice (ad esempio la somma di $K$ è $+$, mentre la somma di $V$ è $+_V$ e la "somma" di $H$ è $+_H$). La notazione è un po' pesante ma contribuisce a non confondersi.
La dimostrazione si fa in qualche riga e te la riporto, così forse riesci a chiarirti le idee.
Dim.: Dobbiamo verificare che: 1) $(H,+_H)$ è un gruppo commutativo; 2) $*_H$ è un prodotto per lo scalare in $H$.
1) Innanzitutto notiamo che essendo $AAx,y in H, x+_Vy\in H$, l'operazione $+_H$ è effettivamente un'operazione interna ad $H$.
Fissiamo $x,y,z\in H$ ed abbiamo:
$(x+_Hy)+_Hz:=(x+_Vy)+_Vz=" tenendo presente che "+_V" è associativa "=x+_V(y+_Vz)=: x+_H(y+_Hz)$
$x+_Hy:= x+_Vy=" tenendo presente che "+_V" è commutativa"=y+_Vx =: y+_Hx$
cosicché $+_H$ è associativa e commutativa.
Per le regole di calcolo in $V$, fissato un qualsiasi $u\in H$, si ha $0_V=0*_Vu$ (in cui $0_V$ è il vettore nullo di $V$ e $0$ è lo zero di $K$); visto che $H$ è chiuso rispetto a $*_V$ troviamo $0_V \in H$ e, per fissato $x\in H$, abbiamo:
$\{(x+_H0_V:= x+_V0_V=x),(0_V+_Hx :=0_V+_Vx = x):}$
onde $0_V$ è l'elemento neutro di $H$ rispetto a $+_H$.
Fissato $x \in H$, per le regole di calcolo in $V$ si ha $-x=(-1)*_Vx$ e la chiusura di $H$ rispetto a $*_V$ implica che $-x \in H$; ora abbiamo anche:
$x+_H(-x):=x+_V(-x)=0_V=(-x)+_Vx=: (-x)+_Hx$
quindi $-x$ è l'opposto di $x$ rispetto a $+_H$. Ne consegue che $(H,+_H)$ è un gruppo commutativo.
2) Innanzitutto notiamo che la chiusura di $H$ rispetto a $*_V$ garantisce che $*_H$ è un'operazione a risultato in $H$.
Provare che $*_H$ è un prodotto scalare equivale a dire che bisogna provare le seguenti quattro proprietà: $AAx,y\in H, AAalpha,beta in K,$
a. $\quad alpha*_H(x+_Hy)=alpha*_Hx+_Halpha*_Hy$;
b. $\quad (alpha+beta)*_Hx=alpha*_Hx+_Hbeta*_Hx$;
c. $\quad (alpha*beta)*_Hx=alpha*_H(beta*_Hx)$;
d. $\quad 1*_Hx=x$.
La a.: abbiamo $alpha*_H(x+_Hy) := alpha*_V(x+_Vy)=" per le proprietà del prodotto scalare di " V =alpha*_Vx+_Valpha*_Vy=: alpha*_Hx+_Halpha*_Hy$.
La b.: abbiamo $(alpha+beta)*_Hx :=(alpha+beta)*_Vx=" per le proprietà del prodotto scalare di "V =alpha*_Vx+_Vbeta*_Vx =:alpha*_Hx+_Hbeta*_Hx$.
La c.: abbiamo $(alpha*beta)*_Hx :=(alpha*beta)*_Vx=" per le proprietàdel prodotto scalare di "V =alpha*_V(beta*_Vx) =:alpha*_H(beta*_Hx)$.
La d.: abbiamo $1*_Hx=1*_Vx=" per le proprietà del prodotto scalare di "V =x$.
Pertanto $*_H$ è un prodotto scalare.
Mettendo insieme 1) e 2) concludiamo che $(H,+_H,*_H)$ è un $K$-spazio vettoriale.
P.S.: Spero vivamente tu stia studiando da un libro e non da wikipedia...
Grazie, Gugo, alla fine, anche se non ho letto la seconda parte, era questo che cercavo. Magari l'approfondirò piano piano e poi mi rivolgerò al mio professore per approfondire, se necessario.
In ogni caso, grazie a tutti quelli che sono intervenuti.
La dimostrazione la leggerò piano piano (è un po' pesante, per me, in effetti, e comunque cercherò di semplificare il simbolismo).
Non sto studiando da un libro, anche perchè non credo sia sufficiente per il grado di precisione che mi si richiederebbe.
In ogni caso, grazie a tutti quelli che sono intervenuti.
La dimostrazione la leggerò piano piano (è un po' pesante, per me, in effetti, e comunque cercherò di semplificare il simbolismo).
Non sto studiando da un libro, anche perchè non credo sia sufficiente per il grado di precisione che mi si richiederebbe.
Prego, turtle.
Però spiegami una cosa... Leggo:
Quello che hai scritto letteralmente significa:
"Non studio da un libro perchè all'esame mi chiedono di essere molto preciso, e lo studio da un testo non può assicurarmi ciò"
Che senso ha? Evidentemente non è questo che intendevi...
Ad ogni modo, un esame di Matemetica va sempre studiato da un testo di riferimento (anche se hai le dispense del professore!).
Solo un libro di riferimento ti può dare la visione d'insieme necessaria a capire dove "metter mano"; le dispense sono, per lo più, riassuntini che servono per orientarsi, un po' come una mappa nella jungla; gli appunti presi a lezione se non sono presi a regola d'arte (ad esempio quelli scritti in un'aula affollata da 200-250 persone) servono a poco o niente.
Però spiegami una cosa... Leggo:
"turtle87":
Non sto studiando da un libro, anche perchè non credo sia sufficiente per il grado di precisione che mi si richiederebbe.
Quello che hai scritto letteralmente significa:
"Non studio da un libro perchè all'esame mi chiedono di essere molto preciso, e lo studio da un testo non può assicurarmi ciò"
Che senso ha? Evidentemente non è questo che intendevi...
Ad ogni modo, un esame di Matemetica va sempre studiato da un testo di riferimento (anche se hai le dispense del professore!).
Solo un libro di riferimento ti può dare la visione d'insieme necessaria a capire dove "metter mano"; le dispense sono, per lo più, riassuntini che servono per orientarsi, un po' come una mappa nella jungla; gli appunti presi a lezione se non sono presi a regola d'arte (ad esempio quelli scritti in un'aula affollata da 200-250 persone) servono a poco o niente.
Sto collezionando una serie di strafalcioni clamorosi da quando scrivo qui nei periodi di massima frequentazione.
Volevo dire che all'esame non mi si richiede molta precisione. Quindi non è "necessario" (non "sufficiente", come ho scritto) studiare da un testo di matematica.
Per il resto, io gli appunti li riascolto più volte (registro le lezioni), quindi, anche se non sempre, cerco di prendere quasi tutto quello che dice il professore.
So che mi sarebbe servito un libro, ma per motivi legati alla mia, a questo punto (dopo i mille insuccessi che colleziono ogni giorno), "particolarissima" intelligenza che mi ritrovo, è quasi meglio che non l'abbia preso. Sarei finito con il fare una marea di lavoro inutile, che non mi posso permettere.
Volevo dire che all'esame non mi si richiede molta precisione. Quindi non è "necessario" (non "sufficiente", come ho scritto) studiare da un testo di matematica.
Per il resto, io gli appunti li riascolto più volte (registro le lezioni), quindi, anche se non sempre, cerco di prendere quasi tutto quello che dice il professore.
So che mi sarebbe servito un libro, ma per motivi legati alla mia, a questo punto (dopo i mille insuccessi che colleziono ogni giorno), "particolarissima" intelligenza che mi ritrovo, è quasi meglio che non l'abbia preso. Sarei finito con il fare una marea di lavoro inutile, che non mi posso permettere.
Per me avere un libro sotto mano ti avrebbe semplificato la vita... Certo, non un testo difficile; piuttosto qualche libretto semplice, tipo quelli del prof. Orecchia per gli ingegneri (ad esempio questo) se studi a Napoli, anche se non sono il massimo matematicamente parlando.
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