[Geometria]Piano parallelo a due vettori

[ross.dream]

Salve, ho risolto questo esercizio, però non so se il mio ragionamento è corretto.

Fissato nello spazio un riferimento metrico,si stabilisca quale dei seguenti piani è quello parallelo ai due vettori $u(1,1,0)$ e $v(0,1,2)$.

$A)x-y+z=2; B)2x-2y+z=3; C)2x-z=0; D)x+y+2z=6$.
Ho ragionato in questa maniera: visto che il piano deve essere parallelo ai due vettori, allora il vettore normale ad esso è ortogonale anche ai due vettori. Per definizione, il vettore ortogonale ad un piano è quello dato dai suoi coefficienti $a,b,c$. Quindi dovrebbe bastare fare il prodotto scalare fra il vettore normale al piano e ciascuno dei due vettori $u$ e $v$: se tale prodotto viene zero, è soddisfatta la perpendicolarità e, a quel punto, automaticamente il piano dovrebbe essere parallelo ai due vettori... In base a questo ragionamento, la risposta dovrebbe essere la $B$. E' un ragionamento corretto, oppure è frutto della mia invenzione?

[franced]

"gentah":Salve, ho risolto questo esercizio, però non so se il mio ragionamento è corretto.

Fissato nello spazio un riferimento metrico,si stabilisca quale dei seguenti piani è quello parallelo ai due vettori $u(1,1,0)$ e $v(0,1,2)$.

$A)x-y+z=2; B)2x-2y+z=3; C)2x-z=0; D)x+y+2z=6$.
Ho ragionato in questa maniera: visto che il piano deve essere parallelo ai due vettori, allora il vettore normale ad esso è ortogonale anche ai due vettori. Per definizione, il vettore ortogonale ad un piano è quello dato dai suoi coefficienti $a,b,c$. Quindi dovrebbe bastare fare il prodotto scalare fra il vettore normale al piano e ciascuno dei due vettori $u$ e $v$: se tale prodotto viene zero, è soddisfatta la perpendicolarità e, a quel punto, automaticamente il piano dovrebbe essere parallelo ai due vettori... In base a questo ragionamento, la risposta dovrebbe essere la $B$. E' un ragionamento corretto, oppure è frutto della mia invenzione?

Il tuo ragionamento mi sembra corretto.

Il piano giusto è il B, basta verificarlo col prodotto scalare.

[Sk_Anonymous]

Diversamente ( ma non troppo !) si potrebbe ragionare così.
Se $vec( t)$ è il vettore direzione richiesto allora deve essere $vec(t)=vec(u)Xvec(v)$ dove "x" è il simbolo
di prodotto vettore.
Com'è noto le componenti di tale prodotto sono i minori ,presi a segni alterni, della matrice
2x3 che ha per righe le componenti di $vec(u)$ e $vec(v)$ ed ottenuti cancellando da tale matrice
le colonne una per volta.$
Nel caso nostro la matrice è $((1,1,0),(0,1,2))$ ed i suoi minore sono nell'ordine:
$((1,0),(1,2))=2,-((1,0),(0,2))=-2,((1,1),(0,1))=1$
Pertanto risulta $vec(t)=(2,-2,1)$ che coincide con la (B)

[ross.dream]

Grazie infinite a tutti e due, siete stati gentilissimi!!;)

[franced]

"silvano38":Diversamente ( ma non troppo !) si potrebbe ragionare così.
Se $vec( t)$ è il vettore direzione richiesto allora deve essere $vec(t)=vec(u)Xvec(v)$ dove "x" è il simbolo
di prodotto vettore.
Com'è noto le componenti di tale prodotto sono i minori ,presi a segni alterni, della matrice
2x3 che ha per righe le componenti di $vec(u)$ e $vec(v)$ ed ottenuti cancellando da tale matrice
le colonne una per volta.$
Nel caso nostro la matrice è $((1,1,0),(0,1,2))$ ed i suoi minore sono nell'ordine:
$((1,0),(1,2))=2,-((1,0),(0,2))=-2,((1,1),(0,1))=1$
Pertanto risulta $vec(t)=(2,-2,1)$ che coincide con la (B)

Io il prodotto vettore lo faccio con il determinante

$det ((i,j,k),(u_x,u_y,u_z),(v_x,v_y,v_z))$

sviluppato lungo la prima riga.