Base e dimensione

[carminiello84]

Lo spazio V è generato da tre vettori , quindi per
trovare la dimensione e una base, bisogna trovare i vettori indipendenti nel
sistema di generatori. Si ha che (3,−2,−2) = 3(1, 0, 0) − 2(0, 1, 1), quindi il
vettore (3,−2,−2) dipende dai precedenti, mentre i vettori {(1, 0, 0), (0, 1, 1)}
costituiscono un sistema indipendente, dunque sono una base per V che risulta
quindi avere dimensione 2.dimensione due perchè ha due vettori che lo costituiscono?

[Dorian1]

"carminiello84":dimensione due perchè ha due vettori che lo costituiscono?

Certo: si dice dimensione dello spazio vettoriale $V$ (sul campo $K$) la cardinalità di una qualsiasi base di $V$. La definizione ha senso, in quanto tutte le basi di $V$ hanno la stessa cardinalità.

[carminiello84]

Dalla formula di Grassmann si ha:
dimU + V = dimU + dimV − dimU ∩ V =⇒ 3 = 2 + 2 − dimU ∩ V.....come mai tre è = a dim u+v?

[Injo]

Nello spazio di dimensione 3 due sottospazi $U $ e $ V$ che hanno dimensione 2 (sono due piani, quindi) generano uno spazio di dimensione 3. Infatti se $v_1$ e $v_2$ generano $ V $ e $u_1$ e $u_2 $ generano $ U$, avremo che $U+V$ è generato da $v_1 v_2 u_1 u_2$. Essendo però lo spazio di dimensione 3, un suo sottospazio non può avere dimensione maggiore di 3. Ne viene che uno tra $v_1 v_2 u_1 u_2$ è dipendente in modo lineare dagli altri.

Questo viene anche da $3=dimU+V=dimU + dimV - dim(U \cap V)=2+2-1$.

$dim(U \cap V)=1$ in quanto, nello spazio vettoriale di dimensione 3, due piani distinti si intersecano sempre in una retta (di dimensione 1).

Spero di non aver commesso errori.

[carminiello84]

grazzzzzzzzie