Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Quali sono i presupposti che si dovrebbe assumere per effettuare una dimostrazione con le matrici?
Ad esempio :
Fissata la terna di numeri reali (u,v,w) dimostrare che le equazioni lineari in x,y,z che ammettono (u,v,w) come soluzione sono tutte e solo quelle del tipo
$a*(x - u) + b * (y - v) + c * (z - w) = 0 $ con a,b,c reali.
Al di la' della soluzione che mi sfugge (se qualcuno ha una vaga idea..) come si dovrebbe "impostare" una dimostrazione per qualsivoglia esercizio matriciale?
C'è qualche libro ...
Salve a tutti domani ho l'esame di geometria ma ancora ho un po' di dubbi....
1) ho capito che la molteplicità algebrica si vede dalle radici del polinomio caratteristico, però non riesco a capire quella geometrica: è la dimensione relativa all'autospazio di ogni autovalore determinato con il polinomio caratteristico? mi potete fare un esempio dove la molteplicità geometrica e quella algebrica non coincidono? ma se non coincidono non ci può essere diagonalizzazione o basta che quella ...
Ragazzi ho bisogno di un chiarimento:
devo rappresentare il dominio e la curva di livello 0 della seguente funzione
$f(x,y) = (log((4-x^2-4y^2)/3))/(4(x-y)^2-1)$
ora per il dominio dovremmo avere:
$\{((4-x^2-4y^2)/3>0),(4(x-y)^2-1!=0):}$
la prima riducendo è una ellisse $(x^2)/4+y^2<1$ quindi i punti interni non compreso il bordo
la seconda mi viene $x^2+y^2-2xy-1/4!=0$
che figura è???
per le curve di livello pongo $f(x,y)=0$
quindi $(log((4-x^2-4y^2)/3))/(4(x-y)^2-1)=0$
sapendo che il denominatore del dominio è diverso da ...
$f:R^2rarr R^3$
$f(x,y)=(4x+y,3y,2x+y)$
$g:R^3rarr R^3$
$g(e_1-e_3)=-e_3$
$g(2e_1+e_2)=e_1+5e_2-e_3$
$g(e_1+e_3)=e_1+2e_2-e_3$
$e_1,e_2,e_3$ sono le componenti della base di $R^3$
devo trovare la matrice rappresentativa di $ f°g$ (f composto g)p.s. scusate ma non so scriverlo in formula,
Si consideri la base $B={3+t,2+t}$ per $RR[t]_{<1}$
Sia $f: p(t)inRR[t]_{<1}->RR[t]_{<1}$ a cui appartiene $p^I(t)$
Calcolare:
$M^B_B (f)$
Svolgimento:
$M^B_B(f)=[[D(3+t)]_B[D(2+t)]_B]$ $=[[1]_B[1]_B]$ $=[[1,1],[-1,-1]]$
1=x(3+y)+y(2+t)=(3x+2y)+(x+y)t
${(3x+2y=1),(x+y=0):}$ $=>$ ${(x+y=0),(3x+2y=1):}$ $=>$ ${(x+y=0),(-y=1):}$ $=>$ ${(x=1),(y=-1):}$
Quindi
$M^B_B(f)=[[1,1],[-1,-1]]$
Non ci sto capendo nulla, c'è qualche anima gentile che mi spiega ...
Sia $V$ spazio vettoriale sul corpo $C$.
Data una base di $V$ ${v_1,...,v_n}$ è possibile:
- cambiare l'ordine dei generatori;
- moltiplicare per uno scalare un generatore;
- sostituire l'i-esimo generatore con l'i-esimo più $alpha$ volte il j-esimo
e si ottiene ancora una base di V.
Supponiamo di avere $R^2$ generato dalla base ${((2),(1)),((1),(0))}$.
Volendo applicare una di queste operazioni alla base dovrei agire sulle ...
Per spazio omogeneo intendo uno spazio topologico $X$ tale che comunque si prendano $x, y\inX$ esiste un omeomorfismo di $X$ in sé che manda $x$ in $y$. Mi chiedo se il quadrato $[0, 1]\times [0,1]$ sia uno spazio omogeneo: direi di no, perché i punti sul bordo sono "diversi" dagli altri, ma come mostrarlo (sempre che sia vero)?
Salve a tutti, sono nuovo su questo forum
Immagino che quella che sto per fare sia una domanda ciclica, però facendo la ricerca
nel forum non ho trovato niente che mi abbia aiutato
Vorrei capire, in primo luogo concettualmente, cosa significa insieme
Denso (in un altro).
in un altro topic alcuni avevano dato la definizione usando i concetti
di "chiusura" di "punto aderente", che onestamente non ho ben chiare.
Vanno benissimo anche definizioni rozze, l'importante che diano ...
Salve a tutti,
mi è sorto un piccolo dubbio durante lo svolgimento del seguente esercizio:
trovare una base dell' immagine di f dove
$f((x),(y),(z)) = ((x-y),(x+z))$
Io ho semplicemente preso le basi canoniche di $R^3$, le ho trasformate, e ho preso in considerazione i vettori linearmente indipendenti. E' corretto?
Grazie tante
salve ragazzi sono nuovo del forum... il mio problema è questo:
ho un'equazione polinomiale in tre variabili x, y, z di ottavo grado, questa equazione è molto lunga quindi difficile da manipolare. Sto utilizzando Maple come software di supporto ed ho fatto un plot utilizzando la funzione in forma implicita.
A questo punto io vorrei scrivere la funzione in forma esplicita esplicitando la z del tipo z= f(x,y).
Domande:
1) Da qualche parte ho letto che polinomi di grado superiore al 4° ...
Ho dei dubbi circa la mia risoluzione di questo esercizio:
Si consideri l'endomorfismo $f:RR^3 ->RR^3$ tale che $f(x,y,z)=(x+y,y,kz)$ con $k in RR$
a) Stabilire per quali valori di $k$ $f$ è diagonalizzabile.
b) Determinare, al variare di $k$, un sottospazio $W$ di $RR^3$3 tale che
$RR^3$ $= V_1 (f )$$oplus V_k (f )$$oplus W$
c) Posto $k = 1$, provare ...
La matrice è $A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$
Devo trovare autovalori ed autospazi
Io avevo trovato come autovalori
$lambda= -1 e 2$
Ora per trovare gli autospazi faccio il sistema che ha:
$-2x_1+x_2+x_3=0$
$x_1-2x_2+x_3=0$
$x_1+x_2-2x_3=0$
alla fine trovo:
$L(1,1,1)$ se metto 2
$L(1,1,2)$ se provo con -1
quindi questi sarebbero gli autospazi?
Ho questa richiesta, vorrei vedere se ho fatto bene.
1) richiesta : data la matrice $A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$ dire se è diagonalizzabile e perchè.
Io ho fatto cosi:
$A=((-lambda,1,1),(1,-lambda,1),(1,1,-lambda))$
i passaggi per trovare gli autovalori:
$-lambba^3+1+1+lambda+lampda+lambda$=
=$-lambda^3+3lambda+2$=
=$lambda^3-3lambda-2$=$0$
i valori per $lambda$ sono 3
e sono : $1,-1,2$ reali e distinti tra loro.
Ciò significa che $A$ è diagonalizzabile.
Va bene?
Se ho un sistema lineare che presenta un parametro k, di 4 equazioni e 3 variabili, e devo determinare la sua compatibilità, dire quando è determinato e quando è omogeneo, devo utilizzare l'algoritmo di eliminazione di Gauss-Jordan o posso anche risolverlo come una matrice, fare il determinante, calcolarmi il rango, le soluzioni e poi rispondere alle varie richieste?
Help me, ho un esonero dopodomani!
Come si fa a provare che $RR^2=Span((1,2)$$,(1,3))$ ??
Lo $Span$ di $RR^2$ non è formato da due vettori qualsiasi?
Ciao ragazzi, c'è qualcuno di buona volontà che può confermarmi se la mia soluzione è giusta? L'esercizio è il seguente:
Sia [tex]f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}[/tex] una funzione omogenea di grado [tex]2[/tex]*, di classe [tex]C^2[/tex] con matrice Hessiana in [tex]0[/tex] non degenere. Provare che [tex]x\mapsto\nabla f(x)[/tex] è un omeomorfismo.
La continuità di [tex]\nabla f[/tex] è ovvia (le componenti sono continue).
Essendo [tex]f[/tex] omogenea di grado [tex]2[/tex], si ha che ...
$((3,0,2),(0,1,0),(6,0,4))$
calcolo gli autovalori :
$\lambda$ 1 = 0
$\lambda$ 2 =1
$\lambda$ 3 =7
i tre autovalori sono reali e distinti quinti è diagonalizzabile.
Il problema sorge nel momento in cui , devo andar a fare il sistema per trovare gli autospazi
e le conseguenti basi
Ad esempio , io imposto :
Per l'autovalore $\lambda$ = 7
pongo in matrice e risolvo il sistema che viene , in questo caso
$\{(-4x + 2z=0),(-6y = 0),(6x-3z=0):}$
in questo caso ...
ciao a tutti!!!
ho questo sistema lineare:
$\{(x+z+2t=2), (-x-y+z+t=a^2), (4x+y+2z+5t=a):}$
per la risoluzione ho pensato di procedere nel seguente modo:
determino la matrice incompleta e completa ovvero:
$A=((1,0,1,2), (-1,-1,1,1),(4,1,2,5))$ e $A'=((1,0,1,2,2),(-1,-1,1,1,a^2),(4,1,2,5,a))<br />
<br />
ora vado a calcolare il rango di $A$ estraendo il minore $M=|(1,0,1),(-1,-1,1),(4,1,2)|$ che è uguale a zero, calcolando l'unico orlato possibile in $A$ ottengo di nuovo zero ne deduco che quindi il rango di $A$ è compreso tra 1 e 2, ora passo al calcolo del rango di $A'$, in pratica calcolo l'unico orlato che non avevo ancora calcolato ed ottengo come risultato $(a-2)(a+3)$ quindi si può affermare che per $a=2,-3$ il sistema è incompatibile.<br />
<br />
ora passo a studiare il sistema per $a=2$ che diventa:<br />
$\{(x+z+2t=2), (-x-y+z+t=4), (4x+y+2z+5t=2):}$<br />
<br />
quindi le due matrici<br />
<br />
$A=((1,0,1,2), ...
Mi trovo il seguente problema:
Verificare che le matrici quadrate di ordine 3 triangolari superiori sono un
sottospazio vettoriale di M(3, 3;R), (dove R indica il campo reale) di dimensione 6.
da ciò che ho capito M(3,3,R), essendo la componente z non definita, può essere identificata con la retta nello spazio
parallela all'asse z, o con un punto qualsiasi ad essa appartenente.
una matrice triangolare superiore 3x3 associata ad un sistema dà una risultato univoco che può ...
Sto studiando le proprietà di calcolo con le relative dimostrazioni, ma non riesco a capire perchè
$f(u*v) = f(u) * f(v)$
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