Autovalori e autospazi di una matrice

[indovina]

La matrice è $A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$

Devo trovare autovalori ed autospazi

Io avevo trovato come autovalori
$lambda= -1 e 2$

Ora per trovare gli autospazi faccio il sistema che ha:

$-2x_1+x_2+x_3=0$
$x_1-2x_2+x_3=0$
$x_1+x_2-2x_3=0$

alla fine trovo:

$L(1,1,1)$ se metto 2

$L(1,1,2)$ se provo con -1

quindi questi sarebbero gli autospazi?

[franced]

L'autovalore $lambda=-1$ ha molteplicità algebrica (= geometrica) = 2 ,
quindi per l'autospazio devi trovare una base di due vettori.

[indovina]

Non so come trovare una base di due vettori, cioè dovrei ripetere l'operazione per due volte?
E per 2 va bene la mia scrittura?

[franced]

"clever":La matrice è $A=((0,1,1),(1,0,1),(1,1,0))$

Vediamo cosa accade per $lambda=-1$;
per calcolare l'autospazio relativo devi trovare il nucleo della matrice

$A - (-1) * I = A + I = ((1,1,1),(1,1,1),(1,1,1))$

la matrice ottenuta ha rango = 1 e il sistema da risolvere è

${(x+y+z=0),(x+y+z=0),(x+y+z=0):}$

dall'equazione $x+y+z=0$ ti ricavi ad esempio la $x$ e ricavi

$x = - y - z$

da cui

$((x),(y),(z)) = ((-y-z),(y),(z)) = y((-1),(1),(0)) + z ((-1),(0),(1))$

una base per l'autospazio relativo a $lambda=-1$ è

${ ((-1),(1),(0)) ; ((-1),(0),(1)) }$ .

Tutto chiaro ora?

[Steven11]

Mi stavo accingendo a rispondere ma vedo che ha provveduto esaurientemente franced.

Mi limito a dire che il caso [tex]\lambda=2[/tex] mi torna giusto.
Ciao!

[indovina]

Si, chiarissimo
Sono un capoccione, ma imparero grazie ai vostri consigli
ciao!

[franced]

"Steven":Mi stavo accingendo a rispondere ma vedo che ha provveduto esaurientemente franced.

Mi limito a dire che il caso [tex]\lambda=2[/tex] mi torna giusto.
Ciao!

Infatti, come dicevo io in un altro messaggio, la somma degli elementi sulle righe è
costante e quindi $(1,1,1)$ è autovettore (l'autovalore è $2$, cioè la somma comune).

[Steven11]

Non sapevo di questa cosa, fracned, benché ho visto che è relativamente facile da dimostrare.

Grazie per l'info!

[franced]

Allora ti dico anche un altro "trucchetto":

se la somma degli elementi sulle colonne è costante = k,
uno degli autovalori della matrice è $lambda = k$ e $(1,1,1)$
è autovettore per la matrice trasposta.

Esempio_

$A = ((1,3,4),(3,-2,5),(0,3,-5))$

ha come autovalore $lambda = 4$.
Inoltre possiamo dire che $(1,1,1)$ è autovettore per $A^T$
(con autovalore $lambda = 4$).