Il quadrato è uno spazio omogeneo?
Per spazio omogeneo intendo uno spazio topologico $X$ tale che comunque si prendano $x, y\inX$ esiste un omeomorfismo di $X$ in sé che manda $x$ in $y$. Mi chiedo se il quadrato $[0, 1]\times [0,1]$ sia uno spazio omogeneo: direi di no, perché i punti sul bordo sono "diversi" dagli altri, ma come mostrarlo (sempre che sia vero)?
Risposte
ora sparo la boiata prima di andare a letto...
ora Piero Angela o qualcuno simile a lui mi ha detto che ad ogni spazio topologico si può associare il suo gruppo fondamentale che dovrebbe descrivere i percorsi continui chiusi che si possono ivi fare.... questo gruppo fondamentale è un invariante topologico....
ora direi che il gruppo fondamentale del quadrato meno un punto sul bordo è l'identità
mentre direi che il gruppo fondamentale del quadrato meno un punto in mezzo è.... boh....(Z,+)?
devo smetterla di rispondere a cose che non so
... ma la tentazione è troppo grande...
ora Piero Angela o qualcuno simile a lui mi ha detto che ad ogni spazio topologico si può associare il suo gruppo fondamentale che dovrebbe descrivere i percorsi continui chiusi che si possono ivi fare.... questo gruppo fondamentale è un invariante topologico....
ora direi che il gruppo fondamentale del quadrato meno un punto sul bordo è l'identità
mentre direi che il gruppo fondamentale del quadrato meno un punto in mezzo è.... boh....(Z,+)?
devo smetterla di rispondere a cose che non so
... ma la tentazione è troppo grande...
"Thomas":Probabilmente la stessa persona ha raccontato questa storiella pure a me
ora Piero Angela o qualcuno simile a lui mi ha detto che ad ogni spazio topologico si può associare il suo gruppo fondamentale che dovrebbe descrivere i percorsi continui chiusi che si possono ivi fare.... questo gruppo fondamentale è un invariante topologico....
"Thomas":plausibile
ora direi che il gruppo fondamentale del quadrato meno un punto sul bordo è l'identità
"Thomas":perché se togli un punto in mezzo devi contare quante volte (con segno) ci giri attorno... Plausibile anche questo. Quindi non può esistere un omeomorfismo che manda un punto sul bordo su un punto in mezzo perché altrimenti dovrebbe essere $(ZZ, +)=\langle 0 \rangle$. Euristicamente direi che ci siamo.
mentre direi che il gruppo fondamentale del quadrato meno un punto in mezzo è.... boh....(Z,+)?
sisi, se spazi topologici hanno gruppi fondamentali diverse, allora non sono omotopici e quindi neanche omeomorfi.
Con questo ragionamento se guardi i dischi (a meno di omeomorfismi uguale al quadrato, o sei voi anche i quadrati stessi) gli omeomorfismi della figura in se stessa devono mandare il bordo nel bordo...
Con questo ragionamento se guardi i dischi (a meno di omeomorfismi uguale al quadrato, o sei voi anche i quadrati stessi) gli omeomorfismi della figura in se stessa devono mandare il bordo nel bordo...
Se non sbaglio puoi applicare questo medesimo ragionamento a qualsiasi sottoinsieme chiuso (e semplicemente connesso) $\Omega \in RR^2$, ed anche più in generale a tutti gli insiemi semplicemente connessi $Omega$ tali che esiste un punto della frontiera di $Omega$ appartenente ad $Omega$.
"pat87":Certo, mi convince. Però questo fa sorgere la domanda: e se $\Omega \in RR^2$ è un aperto semplicemente connesso, è uno spazio omogeneo? Ad esempio, il disco aperto è uno spazio omogeneo? Qui il discorso si fa difficile per me, ma se qualcuno ha qualcosa da dire lo leggo volentieri.
Se non sbaglio puoi applicare questo medesimo ragionamento a qualsiasi sottoinsieme chiuso (e semplicemente connesso) $\Omega \in RR^2$ [...] tali che esiste un punto della frontiera di $\Omega$ appartenente a $\Omega$.
Sì, vale per ogni insieme aperto semplicemente connesso. La coppia $(B_1(0) subset RR^2, g_(ij)(x) = (4\delta_{ij}(x))/(1+|x|^2)^2)$ è il cosidetto modello di Poincaré per lo spazio iperbolico, ed in questo particolare spazio è possibile dire molto di più in fatto di omogeneità. Difatti si può dimostrare che non solo esiste un omeomorfimo di $B_1(0)$ in se stesso che scambia qualsiasi due punti $p$ e $q$, ma che è anche possibile trovare un'isometria avente tale proprietà. Una dimostrazione la puoi trovare credo in un qualsiasi libro di geometria Riemanniana. (*)
Infine, ogni insieme semplicemente connesso in $RR^2$ è omeomorfo al disco aperto centrato nell'origine.
(*) Credo che la dimostrazione si riduca soltanto a trovare un'isometria $B_1(0) \to B_1(0)$ che mandi $0 \mapsto x$, con $|x| < 1$. Se mi viene in mente come fare o se trovo in giro la soluzione la posto.
Infine, ogni insieme semplicemente connesso in $RR^2$ è omeomorfo al disco aperto centrato nell'origine.
(*) Credo che la dimostrazione si riduca soltanto a trovare un'isometria $B_1(0) \to B_1(0)$ che mandi $0 \mapsto x$, con $|x| < 1$. Se mi viene in mente come fare o se trovo in giro la soluzione la posto.
Prop: Ogni aperto semplicemente connesso di $RR^2$ è omogeneo.
Lemma: Ogni aperto semplicemente connesso di $CC$ è omeomorfo a $CC$.
Dim Lemma: Sia $Omega subseteq CC$ aperto semplicemente connesso. Se $Omega = CC$ ho finito. Suppongo ora $Omega subset CC$.
Dall'analisi complessa che se $Omega subset CC$ allora $Omega$ è biolomorfo alla palla aperta $B_1 (0)$, ma visto che la palla aperta unitaria è omeomorfa al piano, $Omega$ è omeomorfo a $CC$.
Dim Prop: per il lemma basta far vedere che $RR^2$ è omogeneo, e questo è banale perché dati due punti posso prendere la traslazione che manda il primo punto nel secondo.
Lemma: Ogni aperto semplicemente connesso di $CC$ è omeomorfo a $CC$.
Dim Lemma: Sia $Omega subseteq CC$ aperto semplicemente connesso. Se $Omega = CC$ ho finito. Suppongo ora $Omega subset CC$.
Dall'analisi complessa che se $Omega subset CC$ allora $Omega$ è biolomorfo alla palla aperta $B_1 (0)$, ma visto che la palla aperta unitaria è omeomorfa al piano, $Omega$ è omeomorfo a $CC$.
Dim Prop: per il lemma basta far vedere che $RR^2$ è omogeneo, e questo è banale perché dati due punti posso prendere la traslazione che manda il primo punto nel secondo.
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