Risoluzione sistema lineare
ciao a tutti!!!
ho questo sistema lineare:
$\{(x+z+2t=2), (-x-y+z+t=a^2), (4x+y+2z+5t=a):}$
per la risoluzione ho pensato di procedere nel seguente modo:
determino la matrice incompleta e completa ovvero:
$A=((1,0,1,2), (-1,-1,1,1),(4,1,2,5))$ e $A'=((1,0,1,2,2),(-1,-1,1,1,a^2),(4,1,2,5,a))
ora vado a calcolare il rango di $A$ estraendo il minore $M=|(1,0,1),(-1,-1,1),(4,1,2)|$ che è uguale a zero, calcolando l'unico orlato possibile in $A$ ottengo di nuovo zero ne deduco che quindi il rango di $A$ è compreso tra 1 e 2, ora passo al calcolo del rango di $A'$, in pratica calcolo l'unico orlato che non avevo ancora calcolato ed ottengo come risultato $(a-2)(a+3)$ quindi si può affermare che per $a=2,-3$ il sistema è incompatibile.
ora passo a studiare il sistema per $a=2$ che diventa:
$\{(x+z+2t=2), (-x-y+z+t=4), (4x+y+2z+5t=2):}$
quindi le due matrici
$A=((1,0,1,2), (-1,-1,1,1),(4,1,2,5))$ e $A'=((1,0,1,2,2),(-1,-1,1,1,4),(4,1,2,5,2))
in questo caso ho già verificato che il rango di $A$ e di $A'$ è compreso tra 1 e 2 quindi estraggo il minore:
$M'=|(1,0),(-1,-1)|=-1!=0$ quindi per $a=2$ il rango di $A$ e di $A'$ sarà uguale a 2.
il sistema ammetterà quindi $oo^(4-2)$ soluzioni, quindi pongo $z=a$ e $t=b$
ottenendo il sistema:
$\{(x=-a-2b+2), (-x-y=-a+b+4):}$
ora calcolo la x che è $-a-2b+2$ e $y=a-b-4$
analogamente ho fatto per $a=-3$
volevo sapere se ragiono nel modo corretto o se commetto qualche errore, vi ringrazio anticipatamente e scusate per la lunghezza del post.
ho questo sistema lineare:
$\{(x+z+2t=2), (-x-y+z+t=a^2), (4x+y+2z+5t=a):}$
per la risoluzione ho pensato di procedere nel seguente modo:
determino la matrice incompleta e completa ovvero:
$A=((1,0,1,2), (-1,-1,1,1),(4,1,2,5))$ e $A'=((1,0,1,2,2),(-1,-1,1,1,a^2),(4,1,2,5,a))
ora vado a calcolare il rango di $A$ estraendo il minore $M=|(1,0,1),(-1,-1,1),(4,1,2)|$ che è uguale a zero, calcolando l'unico orlato possibile in $A$ ottengo di nuovo zero ne deduco che quindi il rango di $A$ è compreso tra 1 e 2, ora passo al calcolo del rango di $A'$, in pratica calcolo l'unico orlato che non avevo ancora calcolato ed ottengo come risultato $(a-2)(a+3)$ quindi si può affermare che per $a=2,-3$ il sistema è incompatibile.
ora passo a studiare il sistema per $a=2$ che diventa:
$\{(x+z+2t=2), (-x-y+z+t=4), (4x+y+2z+5t=2):}$
quindi le due matrici
$A=((1,0,1,2), (-1,-1,1,1),(4,1,2,5))$ e $A'=((1,0,1,2,2),(-1,-1,1,1,4),(4,1,2,5,2))
in questo caso ho già verificato che il rango di $A$ e di $A'$ è compreso tra 1 e 2 quindi estraggo il minore:
$M'=|(1,0),(-1,-1)|=-1!=0$ quindi per $a=2$ il rango di $A$ e di $A'$ sarà uguale a 2.
il sistema ammetterà quindi $oo^(4-2)$ soluzioni, quindi pongo $z=a$ e $t=b$
ottenendo il sistema:
$\{(x=-a-2b+2), (-x-y=-a+b+4):}$
ora calcolo la x che è $-a-2b+2$ e $y=a-b-4$
analogamente ho fatto per $a=-3$
volevo sapere se ragiono nel modo corretto o se commetto qualche errore, vi ringrazio anticipatamente e scusate per la lunghezza del post.
Risposte
Questa domanda andava posta in "Geometria", però.
scusate.
Come faccio a spostarlo? oppure lo lascio qui ormai?
Come faccio a spostarlo? oppure lo lascio qui ormai?
Spostato. 
ok grazie.
ma il procedimento era giusto?
ma il procedimento era giusto?
grazie mille!!!
ero convinto che quel minore si potesse orlare in quel modo, ma evidentemente mi sbagliavo.
Quindi in definitiva estraggo il minore di secondo ordine come hai detto tu e essendo diverso da zero ne deduco che il rango è almeno due, ora posso calcolare gli orlati di questo minore che sono entrambi uguali a zero quindi il rango della matrice è 2...
ero convinto che quel minore si potesse orlare in quel modo, ma evidentemente mi sbagliavo.
Quindi in definitiva estraggo il minore di secondo ordine come hai detto tu e essendo diverso da zero ne deduco che il rango è almeno due, ora posso calcolare gli orlati di questo minore che sono entrambi uguali a zero quindi il rango della matrice è 2...
"_overflow_":
grazie mille!!!
ero convinto che quel minore si potesse orlare in quel modo, ma evidentemente mi sbagliavo.
Quindi in definitiva estraggo il minore di secondo ordine come hai detto tu e essendo diverso da zero ne deduco che il rango è almeno due, ora posso calcolare gli orlati di questo minore che sono entrambi uguali a zero quindi il rango della matrice è 2...
Veniva dritto anche con Gauss
$((1,0,1,2,2),(-1,-1,1,1,a^2),(4,1,2,5,a))$
$((1,0,1,2,2),(0,-1,2,3,a^2+2),(0,1,-2,-3,a-8))$
$((1,0,1,2,2),(0,-1,2,3,a^2+2),(0,0,0,0,a^2+a-6))$
La matrice completa ha rango 3 per $a^2+a-6=(a+3)(a-2)!=0 rArr a!=2 ^^ a!=-3$ quindi sistema incompatibile.
Per $a=-3 vv a=2$ rango della completa uguale a 2, pertanto rango completa uguale a rango incompleta quindi compatibile...
I caso: $a=2$
${(x+z+2t=2),(-y+2z+3t=6):}
Risolvi...
II caso $a=-3$
${(x+z+2t=2),(-y+2z+3t=11):}
Risolvi...
Quando si dice un colpo di fortuna
grazie per quest'altro spunto
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