Isometrie
Ciao a tutti, ho dsa sottoporvi un problema.
La prima forma fondamentale di Gauss è un'invariante per isometrie, e quindi dal th Egregium si ha che due superfici che sono localmente isometriche (ossia stessa prima forma fondamentale) hanno anche, localmente, stessa curvatura gaussiana.
il mio problema nasce per il fatto che se io prendo $S$ parametrizzata da
$p: \{(x=u),(y=v),(z=u^2+v^2):}$
e sempre la stessa superficie $S$, ma parametrizzata da
$p': \{(x=2u'),(y=2v'),(z=4u'^2+4v'^2):}$
ossia ho adottato il seguente cambio di oarametri ($u=2u'$ e $v=2v'$)
Ho che $S$ in entrambi i casi resta lo stesso paraboloide.
Ora essendo che $S$ è sempre la stessa supeficie, avrò che in ogni punto $(x,y,z)$ avranno stessa curvatura gaussiana, quindi si direbbe chel'applicazione che ha variato i prametria sia un'isometria, ma allora perchè i coefficienti della prima forma fondamentale cambiano? se c'è isometria non dovrebbero rimanere invariati?
Infatti per $p$ ottengo $E=4u^2+1$, $F=0$ e $G=4v^2+1$ mentre per $p'$ ho $E=64u'^2+4$, $F=0$ e $G=64v'^2+4$
La prima forma fondamentale di Gauss è un'invariante per isometrie, e quindi dal th Egregium si ha che due superfici che sono localmente isometriche (ossia stessa prima forma fondamentale) hanno anche, localmente, stessa curvatura gaussiana.
il mio problema nasce per il fatto che se io prendo $S$ parametrizzata da
$p: \{(x=u),(y=v),(z=u^2+v^2):}$
e sempre la stessa superficie $S$, ma parametrizzata da
$p': \{(x=2u'),(y=2v'),(z=4u'^2+4v'^2):}$
ossia ho adottato il seguente cambio di oarametri ($u=2u'$ e $v=2v'$)
Ho che $S$ in entrambi i casi resta lo stesso paraboloide.
Ora essendo che $S$ è sempre la stessa supeficie, avrò che in ogni punto $(x,y,z)$ avranno stessa curvatura gaussiana, quindi si direbbe chel'applicazione che ha variato i prametria sia un'isometria, ma allora perchè i coefficienti della prima forma fondamentale cambiano? se c'è isometria non dovrebbero rimanere invariati?
Infatti per $p$ ottengo $E=4u^2+1$, $F=0$ e $G=4v^2+1$ mentre per $p'$ ho $E=64u'^2+4$, $F=0$ e $G=64v'^2+4$
Risposte
In realtà la metrica Riemanniana sul paraboloide è la stessa, perchè quelli che hai calcolato
$E=4u^2+1$, $F=0$ e $G=4v^2+1$
$E'=64u'^2+4$, $F'=0$ e $G'=64v'^2+4$
sono le componenti del tensore metrico rispetto a due diverse carte (globali).
La prima carta è [tex](x,y,z)\mapsto(u,v)\textrm{ tale che }x=u,\,y=v,\,z=u^2+v^2[/tex],
la seconda è [tex](x,y,z)\mapsto(u',v')\textrm{ tale che }x=2u',\,y=2v',\,z=4u'^2+4v'^2[/tex].
$E=4u^2+1$, $F=0$ e $G=4v^2+1$
$E'=64u'^2+4$, $F'=0$ e $G'=64v'^2+4$
sono le componenti del tensore metrico rispetto a due diverse carte (globali).
La prima carta è [tex](x,y,z)\mapsto(u,v)\textrm{ tale che }x=u,\,y=v,\,z=u^2+v^2[/tex],
la seconda è [tex](x,y,z)\mapsto(u',v')\textrm{ tale che }x=2u',\,y=2v',\,z=4u'^2+4v'^2[/tex].
Ciao cirasa, grazie della risposta, ma il mio dubbio è più di definizioni.
intendo dire che non capisco perchè si definisca che la 1°forma fondamentale sia invariante per isometrie, cioè se io applico un cambiamento di parametrizzazioni alla stessa superficie, cambiano le componenti E,F, e G, quindi non è un invariante la 1° forma fondamentale, nonostante la metrica rimanga uguale! questo cosa significa?
Dunque la prima forma fondamentale non è invariante per parametrizzazioni (perchè i coefficienti E,F e G che la compongono variano in base alla parametrizzazione) un po' come il vettore tg che non è un'invariante per parametrizzazioni, perchè mantiene invariata la direzione, ma non il modulo!
il mio problema è legato a questo, perchè se la prima fondamentale (che è la metrica) non è invariante per parametrizzazioni, invece la distanza tra i punti (sulle due differenti parametrizzazioni) rimane uguale? allora la prima forma fondaqmentale, non è proprio proprio la matrica!
intendo dire che non capisco perchè si definisca che la 1°forma fondamentale sia invariante per isometrie, cioè se io applico un cambiamento di parametrizzazioni alla stessa superficie, cambiano le componenti E,F, e G, quindi non è un invariante la 1° forma fondamentale, nonostante la metrica rimanga uguale! questo cosa significa?
Dunque la prima forma fondamentale non è invariante per parametrizzazioni (perchè i coefficienti E,F e G che la compongono variano in base alla parametrizzazione) un po' come il vettore tg che non è un'invariante per parametrizzazioni, perchè mantiene invariata la direzione, ma non il modulo!
il mio problema è legato a questo, perchè se la prima fondamentale (che è la metrica) non è invariante per parametrizzazioni, invece la distanza tra i punti (sulle due differenti parametrizzazioni) rimane uguale? allora la prima forma fondaqmentale, non è proprio proprio la matrica!
Ho capito che stiamo parlando in termini diversi.
Per me la metrica sul paraboloide $P$ è fissata una volta per tutte dall'embedding isometrico [tex](u,v)\in\mathbb{R}^2\mapsto(u,v,u^2+v^2)\in\mathbb{R}^3[/tex]. La trasformazione
${(u=2u'),(v=2v'):}$
è solo un cambio di coordinate sulla varietà differenziabile $RR^2$ munita della metrica indotta dalla metrica canonica di $RR^3$ mediante $f$.
Tu, invece, munisci $RR^2$ di metriche diverse a seconda dell'embedding che scegli.
[tex]f:\,(u,v)\in\mathbb{R}^2\mapsto(u,v,u^2+v^2)\in\mathbb{R}^3[/tex] oppure
[tex]g:\,(u',v')\in\mathbb{R}^2\mapsto(2u',2v',4u'^2+4v'^2)\in\mathbb{R}^3[/tex]
Quindi cambia il tensore metrico su $RR^2$ (ovvero la prima forma fondamentale).
Per fugare il tuo dubbio ricordami la definizione di distanza fra due punti...
Per me la metrica sul paraboloide $P$ è fissata una volta per tutte dall'embedding isometrico [tex](u,v)\in\mathbb{R}^2\mapsto(u,v,u^2+v^2)\in\mathbb{R}^3[/tex]. La trasformazione
${(u=2u'),(v=2v'):}$
è solo un cambio di coordinate sulla varietà differenziabile $RR^2$ munita della metrica indotta dalla metrica canonica di $RR^3$ mediante $f$.
Tu, invece, munisci $RR^2$ di metriche diverse a seconda dell'embedding che scegli.
[tex]f:\,(u,v)\in\mathbb{R}^2\mapsto(u,v,u^2+v^2)\in\mathbb{R}^3[/tex] oppure
[tex]g:\,(u',v')\in\mathbb{R}^2\mapsto(2u',2v',4u'^2+4v'^2)\in\mathbb{R}^3[/tex]
Quindi cambia il tensore metrico su $RR^2$ (ovvero la prima forma fondamentale).
Per fugare il tuo dubbio ricordami la definizione di distanza fra due punti...
No, non ho capito.
perchè dici che io cambio l'embedding? io applico una trasformazione per cambiare le coordinate.
Non ti seguo col discorso che fai sull'embedding
perchè dici che io cambio l'embedding? io applico una trasformazione per cambiare le coordinate.
Non ti seguo col discorso che fai sull'embedding
Ah, forse vuoi dire che la prima forma fondamentale è da calcolare sulla metrica fissata dall'embedding iniziale?
nel senso che se applico una trasformazione sulle coordinate, non devo calcolare il tensore metrico sulla trasformazione ma sempre sulla metrica iniziale?
quindi se fisso la metrica con l'embedding iniziale $(u,v,u^2+v^2)$, anche se applico una trasformazione ($u=2u', v=2v'$) di coordinate, devo sempre calcolare i coefficienti $E$, $F$ e $G$ non su $(2u',2v',4u'^2+4v'^2)$, ma sempre su $(u,v,u^2+v^2)$?
nel senso che se applico una trasformazione sulle coordinate, non devo calcolare il tensore metrico sulla trasformazione ma sempre sulla metrica iniziale?
quindi se fisso la metrica con l'embedding iniziale $(u,v,u^2+v^2)$, anche se applico una trasformazione ($u=2u', v=2v'$) di coordinate, devo sempre calcolare i coefficienti $E$, $F$ e $G$ non su $(2u',2v',4u'^2+4v'^2)$, ma sempre su $(u,v,u^2+v^2)$?
Forse mi sto confondendo. Ragioniamo con calma.
Hai la tua superficie [tex]f[/tex] (quella definita prima). La prima forma fondamentale induce un prodotto scalare su ogni spazio tangente [tex]T_{(u,v)}f=f_*(T_u\mathbb{R}^2)[/tex] con matrice associata $((E,F),(F,G))$ rispetto a [tex]f_u,\ f_v[/tex]. Poi cambi parametrizzazione, considerando la trasformazione [tex]\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2[/tex] data da [tex](u`,v`)\mapsto(u,v)[/tex].
La prima forma fondamentale sulla superficie [tex]f\circ\phi[/tex] (come prodotto scalare su [tex]T_{\phi(u`,v`)}f[/tex] con [tex](u,v)=\phi(u`,v`)[/tex]) rimane sempre la stessa, cambia la matrice associata, in quanto cambi la base di [tex]T_{(u,v)}f[/tex]
Non so se ho chiarito il tuo dubbio, forse non ho capito per bene quello che mi chiedi...
OT per gli amministratori: Cosa succede ai caratteri ottenuti mediante "Shift+qualcosa"? Sono tutti sballati!
Hai la tua superficie [tex]f[/tex] (quella definita prima). La prima forma fondamentale induce un prodotto scalare su ogni spazio tangente [tex]T_{(u,v)}f=f_*(T_u\mathbb{R}^2)[/tex] con matrice associata $((E,F),(F,G))$ rispetto a [tex]f_u,\ f_v[/tex]. Poi cambi parametrizzazione, considerando la trasformazione [tex]\phi:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2[/tex] data da [tex](u`,v`)\mapsto(u,v)[/tex].
La prima forma fondamentale sulla superficie [tex]f\circ\phi[/tex] (come prodotto scalare su [tex]T_{\phi(u`,v`)}f[/tex] con [tex](u,v)=\phi(u`,v`)[/tex]) rimane sempre la stessa, cambia la matrice associata, in quanto cambi la base di [tex]T_{(u,v)}f[/tex]
Non so se ho chiarito il tuo dubbio, forse non ho capito per bene quello che mi chiedi...
OT per gli amministratori: Cosa succede ai caratteri ottenuti mediante "Shift+qualcosa"? Sono tutti sballati!
Ok, quindi si può dire che fissata una superficie con una parametrizzazione, se cambiamo parametrizzazione abbiamo che la prima forma fondamentale resta uguale, mentre le componenti del tensore metrico (E,F e G) cambiano..è corretto?
altra cosa: per embedding isometrico, si intende che se io ho un tensore metrico, l'embedding che "scelgo" non deve far cambiare le componenti del tensore metrico? mentre per embedding quasi-isometrico cosa si intende?
altra cosa: per embedding isometrico, si intende che se io ho un tensore metrico, l'embedding che "scelgo" non deve far cambiare le componenti del tensore metrico? mentre per embedding quasi-isometrico cosa si intende?
"tinam73":
Ok, quindi si può dire che fissata una superficie con una parametrizzazione, se cambiamo parametrizzazione abbiamo che la prima forma fondamentale resta uguale, mentre le componenti del tensore metrico (E,F e G) cambiano..è corretto?
Direi di sì. Con le stesse notazioni precedenti, il prodotto scalare su ogni spazio tangente è lo stesso, ciò che cambia è la base, quindi la matrice associata al prodotto scalare.
"tinam73":
altra cosa: per embedding isometrico, si intende che se io ho un tensore metrico, l'embedding che "scelgo" non deve far cambiare le componenti del tensore metrico? mentre per embedding quasi-isometrico cosa si intende?
Un embedding isometrico è un'applicazione [tex]f:(M,g)\to(N,\tilde{g})[/tex] fra varietà Riemanniane differenziabile, ingettiva tale che il suo differenziale in ogni punto [tex]x\in M[/tex] è un'applicazione ortogonale fra gli spazi euclidei [tex](T_xM,g)[/tex] e [tex](T_{f(x)}N,\tilde{g})[/tex] (i.e. conserva il prodotto scalare).
Il termine "quasi-isometrico" non l'ho mai sentito...
Ok, però riesci a dirmelo utilizzando meno formalismo, ho un po' di difficoltà.
Tu prima hai detto:
cosa intendi con embedding isometrico?
Tu prima hai detto:
"cirasa":
Per me la metrica sul paraboloide $P$ è fissata una volta per tutte dall'embedding isometrico [tex](u,v)\in\mathbb{R}^2\mapsto(u,v,u^2+v^2)\in\mathbb{R}^3[/tex].
cosa intendi con embedding isometrico?
Non so a che livello posso parlare, hai mai sentito parlare di varietà Riemanniane (di dimensione qualsiasi, non solo di dimensione $2$ come le superfici)?
Fissare una "metrica Riemanniana" su una varietà significa fissare un prodotto scalare su ogni spazio tangente.
Un embedding isometrico non è altro che un embedding (un'applicazione fra varietà Riemanniane differenziabile ingettiva con differenziale ingettivo) il cui differenziale conserva anche la metrica sulla varietà.
Il caso delle superfici di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] ne è un esempio. Data [tex]f:U\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3[/tex], io definisco un prodotto scalare (appunto la prima forma fondamentale) su ogni spazio tangente [tex]T_xU\simeq\mathbb{R}^2[/tex] in modo che il differenziale di [tex]f[/tex] conservi il prodotto scalare (tieni conto che il prodotto scalare su ogni spazio tangente [tex]T_{f(x)}\mathbb{R}^3\simeq\mathbb{R}^3[/tex] è quello standard in [tex]\mathbb{R}^3[/tex]).
In questo caso la metrica Riemanniana su [tex]U[/tex] è univocamente determinata da [tex]f[/tex] che diviene appunto un embedding isometrico.
Spero di aver reso un po' l'idea.
Fissare una "metrica Riemanniana" su una varietà significa fissare un prodotto scalare su ogni spazio tangente.
Un embedding isometrico non è altro che un embedding (un'applicazione fra varietà Riemanniane differenziabile ingettiva con differenziale ingettivo) il cui differenziale conserva anche la metrica sulla varietà.
Il caso delle superfici di [tex]\mathbb{R}^3[/tex] ne è un esempio. Data [tex]f:U\subset\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3[/tex], io definisco un prodotto scalare (appunto la prima forma fondamentale) su ogni spazio tangente [tex]T_xU\simeq\mathbb{R}^2[/tex] in modo che il differenziale di [tex]f[/tex] conservi il prodotto scalare (tieni conto che il prodotto scalare su ogni spazio tangente [tex]T_{f(x)}\mathbb{R}^3\simeq\mathbb{R}^3[/tex] è quello standard in [tex]\mathbb{R}^3[/tex]).
In questo caso la metrica Riemanniana su [tex]U[/tex] è univocamente determinata da [tex]f[/tex] che diviene appunto un embedding isometrico.
Spero di aver reso un po' l'idea.
Si grazie. ma tu che studi hai?
"tinam73":
[...] il mio problema nasce per il fatto che se io prendo $S$ parametrizzata da [...] e sempre la stessa superficie $S$, ma parametrizzata da [...] essendo che $S$ è sempre la stessa supeficie, avrò che in ogni punto $(x,y,z)$ avranno stessa curvatura gaussiana [...], ma allora perchè i coefficienti della prima forma fondamentale cambiano? se c'è isometria non dovrebbero rimanere invariati?
Detto in soldoni, con la frase: "la 1FQF è un'invariante per isometrie", si intende che se due superfici ($S$ e $S'$) sono localmente isometriche, allora fissati due qualsiasi punti (appartenenti alla "porzione" isometrica) $P_1$ e $P_2$ su $S$ ed i corrispettivi, $P_1'$ e $P_2'$, su $S'$, avrò che la "distanza" tra $P_1$ e $P_2$ è la stessa che c'è tra $P_1'$ e $P_2'$ (dove per distanza intendo l'inf delle lunghezze delle curve $C^1$ a tratti che connettono i due punti dati)....NON che l'equazione della 1FQF di $S$ deve essere necessariamente uguale all'equazione della 1FQF di $S'$.
Poi (per centrare il particolare del tuo problema), essendo che il cambio di parametrizzazione su una superficie è una trasformazione isometrica (nel senso che se la stessa superficie la ri-parametrizzo, cambiando le carte, non gli vado a cambiare la metrica), allora posso cercare una diversa parametrizzazione di $S$ (oppure di $S'$) che mi renda la 1FQF uguale alla 1FQF di $S'$ (o di $S$).
La ricerca di parametrizzazioni che rendano uguali le 1FQF tra superfici, è solo utile per riconoscere se due superfici sono isometriche.
Dunque ricapitolando, l'invariante sarebbe la distanza tra i punti, in pratica il risultato dell'integrale di $ds$ (quindi uno scalare), non necessariamente l'equazione della 1FQF, da questo di conseguenza è invariante pure la porzione di area, il prodotto scalare tra vettori fissati appartenenti allo spazio tangente, la curvatura gaussiana,ecc......
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