Prodotto vettoriale complesso
La domanda, lo ammetto, è banale ma non sono riuscito a trovare in rete una risposta.
Il prodotto scalare tra due numeri complessi restituisce uno scalare?
Ad esempio se ho
$z_1=1+2i$ e
$z_2=3-2i$
allora $(z_1|z_2)=1*3+2*(-2)=-1$ ?
Il problema nasce dal fatto che in una dimostrazione ho trovato questa proprietà: dati due numeri complessi u e v, allora:
$(u+v|u+v)=(u|u)+(u|v)+(v|u)+(v|v)=|u|^2+(u|v)+\bar{(u|v)}+|v|^2=|u|^2+2Re(u|v)+|v|^2$
dove si è sfruttata la linearità del prodotto scalare e il fatto che $Re[z]=(z+\barz)/2$ .
Ma se $(u|v)$ è uno scalare, che senso ha parlare di parte reale di uno scalare??
Il prodotto scalare tra due numeri complessi restituisce uno scalare?
Ad esempio se ho
$z_1=1+2i$ e
$z_2=3-2i$
allora $(z_1|z_2)=1*3+2*(-2)=-1$ ?
Il problema nasce dal fatto che in una dimostrazione ho trovato questa proprietà: dati due numeri complessi u e v, allora:
$(u+v|u+v)=(u|u)+(u|v)+(v|u)+(v|v)=|u|^2+(u|v)+\bar{(u|v)}+|v|^2=|u|^2+2Re(u|v)+|v|^2$
dove si è sfruttata la linearità del prodotto scalare e il fatto che $Re[z]=(z+\barz)/2$ .
Ma se $(u|v)$ è uno scalare, che senso ha parlare di parte reale di uno scalare??
Risposte
Eh questa è una cosa che fa confondere. Su $CC$ puoi definire due tipi MOLTO diversi di prodotto scalare:
- [*:7ky2mudv]Il primo vede $CC$ come se fosse il piano $RR^2$, l'esempio tipico è
$(a+ib)\star(\alpha+i beta)=aalpha + b beta$;
[/*:m:7ky2mudv]
[*:7ky2mudv]Il secondo vede $CC$ come un $CC$-spazio vettoriale, l'esempio tipico è
$(z|w)=zbar{w}$.[/*:m:7ky2mudv][/list:u:7ky2mudv]
Il primo prodotto ha per risultato un numero reale, il secondo un numero complesso.
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