Iniettività e linearità applicazione lineare
sia $T in Hom(V,W)$ e siano $B=(b_1,......,b_n)$ e $C=(c_1,......,c_m)$ basi rispettivamente per V e per W.
supponiamo che $dimV<=dimw$
ora, sia T iniettiva, io devo dare T di ogni elemento di V che dovrà essere elemento di W. ogni elemento di V lo si può scrivere usando le sue coordinate rispetto alla base B, ok? bene, allora mi risulta
$T(sum_{i=1}^\n\(x_ib_i))=(sum_{i=1}^\n\(x_ic_i))$
dimostrare che T è un'applicazione lineare iniettiva.
ho una mezza idea sull'iniettiva, ed è questa:
se T è iniettiva $KerT={0}$ quindi $(sum_{i=1}^\n\(x_ib_i))=0$. questo perchè se T di qualcosa è uguale a zero, significa che quel qualcosa appartiene al KerT.
ora
$(sum_{i=1}^\n\(x_ic_i))=0$ perchè i c sono linearmente indipendenti, e quindi gli scalari sono nulli. correggetemi se ho scritto qualche schifezza
per la linearità non ho grandi idee invece
supponiamo che $dimV<=dimw$
ora, sia T iniettiva, io devo dare T di ogni elemento di V che dovrà essere elemento di W. ogni elemento di V lo si può scrivere usando le sue coordinate rispetto alla base B, ok? bene, allora mi risulta
$T(sum_{i=1}^\n\(x_ib_i))=(sum_{i=1}^\n\(x_ic_i))$
dimostrare che T è un'applicazione lineare iniettiva.
ho una mezza idea sull'iniettiva, ed è questa:
se T è iniettiva $KerT={0}$ quindi $(sum_{i=1}^\n\(x_ib_i))=0$. questo perchè se T di qualcosa è uguale a zero, significa che quel qualcosa appartiene al KerT.
ora
$(sum_{i=1}^\n\(x_ic_i))=0$ perchè i c sono linearmente indipendenti, e quindi gli scalari sono nulli. correggetemi se ho scritto qualche schifezza
per la linearità non ho grandi idee invece
Risposte
Ti dirò, non capisco bene l'enunciato che vuoi dimostrare.
Puoi scriverlo per bene, con ipotesi e tesi in evidenza?
Puoi scriverlo per bene, con ipotesi e tesi in evidenza?
devo solo dare un esempio generale per tovare un'applicazione lineare iniettiva...
Esiste il teorema di determinazione di un'applicazione lineare su una base.
Teorema: Siano $V,W$ spazi vettoriali su $K$. Sia $(v_i)_{i in I}$ una base di $V$ , e sia $(w_i)_{i in I}$ una famiglia di vettori di $W$. Allora esiste ed è unica una applicazione lineare $f : V -> W$ tale che $f(v_i) = w_i$ , $AA i in I$.
Questo teorema ti dice che per determinare una applicazione lineare da $V$ in $W$ basta fissare i trasformati di ciascun vettore della base di $V$, cioè:
$f(b_1) = c_1$
$f(b_2) = c_2$
...
$f(b_n) = c_n$
Poiché la dimensione di $V$ è minore o eguale alla dimensione di $W$, allora $n <= m$.
Seguimi. Se peschi $n$ vettori $c_1 , ... , c_n$ dagli $m$ vettori della base di $W$ , questi saranno sicuramente linearmente indipendenti.
Resta da provare che il nucleo è il sottospazio banale.
Ci sono problemi?
Teorema: Siano $V,W$ spazi vettoriali su $K$. Sia $(v_i)_{i in I}$ una base di $V$ , e sia $(w_i)_{i in I}$ una famiglia di vettori di $W$. Allora esiste ed è unica una applicazione lineare $f : V -> W$ tale che $f(v_i) = w_i$ , $AA i in I$.
Questo teorema ti dice che per determinare una applicazione lineare da $V$ in $W$ basta fissare i trasformati di ciascun vettore della base di $V$, cioè:
$f(b_1) = c_1$
$f(b_2) = c_2$
...
$f(b_n) = c_n$
Poiché la dimensione di $V$ è minore o eguale alla dimensione di $W$, allora $n <= m$.
Seguimi. Se peschi $n$ vettori $c_1 , ... , c_n$ dagli $m$ vettori della base di $W$ , questi saranno sicuramente linearmente indipendenti.
Resta da provare che il nucleo è il sottospazio banale.
Ci sono problemi?
Ma si vedono le formule?
no, non riesco a vederle, non so come mai...
"blabla":
no, non riesco a vederle, non so come mai...
Aggiustate.
ok, ho capito, ma perchè bisogna dimostrare che il nucleo è il sottospazio banale?
"blabla":
ok, ho capito, ma perchè bisogna dimostrare che il nucleo è il sottospazio banale?
Dimostrare quello è equivalente a dimostrare l'iniettività (ed è molto più pratico, fidati).
Provaci.
Supponi $v in "Ker"(f)$ e deduci che $v = 0$.
ok, allora $KerT={ v in V$ tali che $T(v)=0}$
dimostriamo che è un sottospazio cioè,
1) $0 in KerT$. questo è vero perchè $T(0)=0$
2)$ AA v,w in KerT v+w in KerT$
allora poichè $v,w in KerT$ significa che $T(v+w)=T(v)+T(w)=0+0=0$, cioè $v+w in KerT$
3)$AA lambda in K, AA v in K$ devo dimostrare che $lambdav in KerT$
allora, $T(lambdav)=lambdaT(v)=lambda0=0$
ciò significa che $lambdav in KerT$.
ok, ci ho provato...
dimostriamo che è un sottospazio cioè,
1) $0 in KerT$. questo è vero perchè $T(0)=0$
2)$ AA v,w in KerT v+w in KerT$
allora poichè $v,w in KerT$ significa che $T(v+w)=T(v)+T(w)=0+0=0$, cioè $v+w in KerT$
3)$AA lambda in K, AA v in K$ devo dimostrare che $lambdav in KerT$
allora, $T(lambdav)=lambdaT(v)=lambda0=0$
ciò significa che $lambdav in KerT$.
ok, ci ho provato...
Va bene, ma era chiaro già dalla teoria che il nucleo è un sottospazio. Tu devi provare, nella dimostrazione che stavamo facendo prima, che il nucleo è il sottospazio banale cioè che $"Ker"(f) = "{0}"$. Come faresti?
allora suppungo che,ad esempio, $T(b_n)=c_n in KerT$ allora devo dimostrare che è uguale a zero.
poichè $(b_1,...,b_n)$ è una base per V, esisteranno $x_1,......,x_n$ tali che
$T(x_1b_1+x_2b_2........+x_nb_n)=x_1c_1+.........+x_nc_n$
poichè i c sono l.indipendenti segue che tutti gli scalari (dei c ma anche dei b) sono nulli e quindi
quindi $T(0)=0$
e quindi avrei dimostrato che è ineittiva perchè l'unico vettore che va a finire in zero è zero
mi stoppo qua prima di scrivere altro perchè non so se quello che sto facendo è giusto....attendo conferme (o smentite)
poichè $(b_1,...,b_n)$ è una base per V, esisteranno $x_1,......,x_n$ tali che
$T(x_1b_1+x_2b_2........+x_nb_n)=x_1c_1+.........+x_nc_n$
poichè i c sono l.indipendenti segue che tutti gli scalari (dei c ma anche dei b) sono nulli e quindi
quindi $T(0)=0$
e quindi avrei dimostrato che è ineittiva perchè l'unico vettore che va a finire in zero è zero
mi stoppo qua prima di scrivere altro perchè non so se quello che sto facendo è giusto....attendo conferme (o smentite)
"blabla":
allora suppungo che,ad esempio, $T(b_n)=c_n in KerT$ allora devo dimostrare che è uguale a zero.
poichè $(b_1,...,b_n)$ è una base per V, esisteranno $x_1,......,x_n$ tali che
$T(x_1b_1+x_2b_2........+x_nb_n)=x_1c_1+.........+x_nc_n$
poichè i c sono l.indipendenti segue che tutti gli scalari (dei c ma anche dei b) sono nulli e quindi
quindi $T(0)=0$
e quindi avrei dimostrato che è ineittiva perchè l'unico vettore che va a finire in zero è zero
mi stoppo qua prima di scrivere altro perchè non so se quello che sto facendo è giusto....attendo conferme (o smentite)
Attenzione : $T(b_n)=c_n in KerT$
Il nucleo è un sottospazio (sottoinsieme) di $V$, non di $W$. Puoi dire "sia $b$ un vettore di $V$ che appartiene a $"Ker"(f)$ (cioè sia tale che $T(b) = 0$ ).
Stai attenta che quello deve essere un generico vettore di $V$.
N.B. : Scegliendo proprio $b_n$ (l'n-esimo vettore della base di $V$) la cosa non funziona.
$b_n$ (in generale un qualunque vettore della base di $V$) non apparterrà mai a $"Ker"(f)$, perché se vi appartenesse, per come abbiamo definito la nostra applicazione lineare sulla base $b_1 , ... , b_n $, dovrebbe essere $f(b_n) = c_n = 0$. Allora $c_1 , ... , 0 (= c_n ) $ sono vettori linearmente dipendenti, ciò che è assurdo in quanto sono vettori "pescati" da una base.
Morale della favola: se un vettore $b in V$ appartiene a $"Ker"(f)$, questi non è un vettore della base.
Ho fatto un po' confusione indicando indistintamente l'applicazione con $T$ e $f$. Considerale la stessa applicazione.
ok, quindi dovrei dire.
sia $b in V$ tale che $b in KerT$
poichè $(b_1,....b_n)$ è una base per KerT, b è scrivibile come combinazione lineare dei b della base.
quindi $b=x_1b_1+............+x_nb_n$
se faccio T di quella menata li avrò che... e dopo seguo il ragionamento che ho fatto prima...arrivando a dire che
$T(b)=T(0)=0$
e quindi l'unico vettore che va finire in zero è zero e quindi T è iniettiva.Ok ci siamo, ci siamo quasi, siamo ancora lontani...?
sia $b in V$ tale che $b in KerT$
poichè $(b_1,....b_n)$ è una base per KerT, b è scrivibile come combinazione lineare dei b della base.
quindi $b=x_1b_1+............+x_nb_n$
se faccio T di quella menata li avrò che... e dopo seguo il ragionamento che ho fatto prima...arrivando a dire che
$T(b)=T(0)=0$
e quindi l'unico vettore che va finire in zero è zero e quindi T è iniettiva.Ok ci siamo, ci siamo quasi, siamo ancora lontani...?
No, non siamo lontani. Dovrebbe andare bene.
Qui spero sia stata una svista. Io direi:
"blabla":
... poichè $(b_1,....b_n)$ è una base per KerT, b ...
Qui spero sia stata una svista. Io direi:
"Seneca":
... poichè $(b_1,....b_n)$ è una base per [size=150]$V$[/size], b ...
si si è stata una svista volevo dire una base di V, come ho scritto nel primissimo messaggio
ok, allora grazie mille per la pazienza, ciao
ok, allora grazie mille per la pazienza, ciao
rileggendo il teorema che hai scitto mi sorge un dubbio...tu dici estraendo $(c_1,.....c_m)$ dagli n vettori dalla base di W questi saranno sicuramente l. indipendenti. ma nel teorema che hai scritto tu non è menzionata alcuna base, so solo che $(c_1,......c_m)$ è un n-upla ordinata di vettori di W, e basta....o sbaglio?
"blabla":
rileggendo il teorema che hai scitto mi sorge un dubbio...tu dici estraendo $(c_1,.....c_m)$ dagli n vettori dalla base di W questi saranno sicuramente l. indipendenti. ma nel teorema che hai scritto tu non è menzionata alcuna base, so solo che $(c_1,......c_m)$ è un n-upla ordinata di vettori di W, e basta....o sbaglio?
Aaaaah, aspetta. Stai "permutando" tutti gli indici!
$C = (c_1,.....c_m)$ sai essere una base di $W$ (quindi un sistema di $m$ vettori linearmente indipendenti che generano $W$).
Se tu hai un insieme di vettori linearmente indipendenti e butti via qualche vettore, i rimanenti come saranno? Ancora linearmente indipendenti.
Ora il teorema ti dice che puoi definire una applicazione lineare su una base di $V$ semplicemente specificando dove viene mandato ciascun vettore della base. I vettori della tua base sono $n$, allora ti serviranno altrettanti vettori di $W$ da usare come trasformati. Ci sei?
Visto che di $W$ ti danno una base che contiene almeno $n$ vettori, puoi usare quelli per definire l'applicazione, e dici:
$b_1 -> c_1$
$b_2 -> c_2$
$...$
$b_n -> c_n$
$c_(n+1), ... , c_(m)$ non mi servono.
Una applicazione così definita è UNICA ed è sicuramente LINEARE (è garantito dal teorema).
Ora bisogna sperare che sia anche iniettiva.
E l'iniettività si prova così:
Sia $b in V$ , $b in Ker(f)$
$b = lambda_1 b_1 + ... + lambda_n b_n $ , dove $b_1 , ... , b_n $ è una base di $V$.
$f(b) = f ( lambda_1 b_1 + ... + lambda_n b_n )$
[linearità] $= lambda_1 f (b_1) + ... + lambda_n f (b_n)$
$= lambda_1 c_1 + ... + lambda_n c_n$
$c_1 , ... , c_n$ linearmente indipendenti $Rightarrow lambda_1 , ... , lambda_n = 0$
$Rightarrow b = 0$
Dovrebbe essere così la dimostrazione. Se non ti torna qualcosa, fai il critico.
"blabla":
rileggendo il teorema che hai scitto mi sorge un dubbio...tu dici estraendo $(c_1,.....c_m)$ dagli n vettori dalla base di W questi saranno sicuramente l. indipendenti. ma nel teorema che hai scritto tu non è menzionata alcuna base, so solo che $(c_1,......c_m)$ è un n-upla ordinata di vettori di W, e basta....o sbaglio?
L'applicazione la cui esistenza e unicità è assicurata dal teorema NON E' in generale iniettiva.
Se i vettori della base di $V$ vengono mandati in vettori linearmente indipendenti di $W$, allora sì, lo è. Ed è questo il nostro caso.
ah ecco cosi mi torna tutto, benissimo grazie
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