[topologia] Basi equivalenti su $RR^n$
Eccomi di nuovo con nuovi dubbi sulla topologia 
Sappiamo su che [tex]$\mathbb{R}^n[/tex] possiamo definire la topologia indotta dalla metrica euclidea.
Però possiamo anche definire la topologia prodotto di spazi topologici, una cui base è data dal prodotto delle basi della topologia naturale su $RR$, ovvero gli intervalli aperti.
Le due topologie sono ovviamente equivalenti.
Intuitivamente su $RR^2$, equivale a chiedere poter passare da intorni circolari ad intorni quadrati (rettangolari) o viceversa. Il che è abbastanza intuitivo.
Il problema è che non mi trovo con i conti nell'equivalenza tra la topologia naturale e quella prodotto, son convinto sia una fesseria in realtà
Sia [tex]$x \in \mathbb{R}^n[/tex] e sia [tex]$B=S(x_0,\epsilon)[/tex] intorno sferico e [tex]$ x \in B[/tex]
Allora [tex]$d(x,x_0)<\epsilon \rightarrow \epsilon-d(x,x_0)>0[/tex]
Per cui esiste [tex]$\delta>0 t.c. 0<\delta<\frac{\epsilon-d(x,x_0)}{\sqrt(n)}[/tex]. Inoltre posto [tex]$B':=]x_1-\delta,x_1+\delta[ \times ... \times ]x_n-\delta,x_n+\delta[[/tex] si ha che [tex]$x \in B'[/tex] e [tex]$B' \subset B[/tex].
Non riesco a capire come mai $B' \subset B$? Intuitivamente è semplice ma i conti non mi tornano.
Grazie mille
Sappiamo su che [tex]$\mathbb{R}^n[/tex] possiamo definire la topologia indotta dalla metrica euclidea.
Però possiamo anche definire la topologia prodotto di spazi topologici, una cui base è data dal prodotto delle basi della topologia naturale su $RR$, ovvero gli intervalli aperti.
Le due topologie sono ovviamente equivalenti.
Intuitivamente su $RR^2$, equivale a chiedere poter passare da intorni circolari ad intorni quadrati (rettangolari) o viceversa. Il che è abbastanza intuitivo.
Il problema è che non mi trovo con i conti nell'equivalenza tra la topologia naturale e quella prodotto, son convinto sia una fesseria in realtà
Sia [tex]$x \in \mathbb{R}^n[/tex] e sia [tex]$B=S(x_0,\epsilon)[/tex] intorno sferico e [tex]$ x \in B[/tex]
Allora [tex]$d(x,x_0)<\epsilon \rightarrow \epsilon-d(x,x_0)>0[/tex]
Per cui esiste [tex]$\delta>0 t.c. 0<\delta<\frac{\epsilon-d(x,x_0)}{\sqrt(n)}[/tex]. Inoltre posto [tex]$B':=]x_1-\delta,x_1+\delta[ \times ... \times ]x_n-\delta,x_n+\delta[[/tex] si ha che [tex]$x \in B'[/tex] e [tex]$B' \subset B[/tex].
Non riesco a capire come mai $B' \subset B$? Intuitivamente è semplice ma i conti non mi tornano.
Grazie mille
Risposte
"mistake89":Secondo me qui dovresti mettere [tex]\delta/2[/tex] anziche' [tex]\delta[/tex]. E poi prendi un generico [tex]y \in B'[/tex], ne stimi la distanza da [tex]x[/tex] e usi la disuguaglianza triangolare
posto [tex]$B':=]x_1-\delta,x_1+\delta[ \times ... \times ]x_n-\delta,x_n+\delta[[/tex]
Forse era proprio [tex]$\delta[/tex]. Sfruttando la tua idea Martino, si ha [tex]$d(x,y)=\sqrt n \delta[/tex].
Stimiamo allora [tex]$d(x_0,y) \leq d(x_0,x)+d(x,y) \leq \epsilon + \sqrt n \delta \leq \epsilon + \epsilon - d(x_0,x) \leq 2\epsilon -epsilon =\epsilon[/tex]
E dovremmo esserci. Che dici?
Grazie mille
Stimiamo allora [tex]$d(x_0,y) \leq d(x_0,x)+d(x,y) \leq \epsilon + \sqrt n \delta \leq \epsilon + \epsilon - d(x_0,x) \leq 2\epsilon -epsilon =\epsilon[/tex]
E dovremmo esserci. Che dici?
Grazie mille
Giusto, [tex]\delta[/tex] funziona. Tuttavia:
[tex]d(x_0,y) \leq d(x_0,x) + d(x,y) \leq d(x_0,x) + \delta \sqrt{n} < d(x_0,x) + (\epsilon - d(x_0,x)) = \epsilon[/tex].
"mistake89":Non direi. Non puoi maggiorare [tex]-d(x_0,x)[/tex] con [tex]-\epsilon[/tex] perche' si ha [tex]d(x_0,x)<\epsilon[/tex]. Quello che avevo pensato io e' questo:
Stimiamo allora [tex]\epsilon + \epsilon - d(x_0,x) \leq 2\epsilon -\epsilon[/tex]
[tex]d(x_0,y) \leq d(x_0,x) + d(x,y) \leq d(x_0,x) + \delta \sqrt{n} < d(x_0,x) + (\epsilon - d(x_0,x)) = \epsilon[/tex].
Sì hai perfettamente ragione. E' stato una svista (troppi $epsilon$ mi fanno girare la testa )
Grazie mille
)Grazie mille
Prego!
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