Parametrizzare una curva d'intersezione di superfici

Anda1
Non ricordo più come si fa (o forse non l'ho mai saputo XD)

Ad esempio voglio trovare una curva parametrica d'intersezione tra il paraboloide $ z = x^2 + 4y^2 $ con il piano $ z = 3x-2y $

o ancora tra $ z = x^2 + y^2 $ e $ 2x-4y-z=1 $

come faccio?

grazie mille in anticipo :-D

Risposte
Anda1
Commetto un reato se uppo? :D
In caso affermativo mi scuso in anticipo!!

dissonance
Ma no, nessun reato. :-) Qui semplicemente prevediamo un limite di 24 ore prima di un "UP" come norma di buon senso più che come legge in senso stretto.

Comunque il tuo problema in generale non è banale. Esiste tutto un (enorme) capitolo della geometria riservato all'argomento "intersezione tra varietà algebriche". Nei casi che prescrivi tu, però, qualcosa si può fare. Nel primo ad esempio puoi risolvere $z$ in funzione di $x, y$ dall'equazione del piano (cosa che hai già fatto) e sostituire nell'equazione del paraboloide: ne dovrebbe venire fuori l'equazione di una circonferenza nel piano $z=3x-2y$ da parametrizzare poi con gli accorgimenti soliti.

Sposto comunque nella sezione di Geometria dove troverai maggiore riscontro.

alessandrobad
Scusate se mi intrometto (mi sono appena iscritto) ma vista questa discussione non resisto. Entro pochi giorni ho un compito di analisi II e il professore ha dato questo esercizio che vorrei sottoporvi:
Parametrizzare la curva d'intersezione di superfici e se possibile calcolarne la lunghezza
yz+x=1
xz-x=1
ps. il se possibile si riferisce alle limitazioni teoriche e pratiche del corso, per esmpio il professore ha evitato gli integrali ellittici perchè non calcolabili con semplici artifici.

Anda1
ahaha, probabilmente siamo compagni di corso :D

alessandrobad
Si in effetti mi era venuto anche me il dubbio. A proposito ti dico come l'ho risolto il primo problema
$ z=(x)^(2)+4(y)^(2) $
$ z=3x-2y $
$ (x)^(2)+4(y)^(2)=3x-2y $
$ (x)^(2)-3x+4(y)^(2)+2y=0 $
$ (x)^(2)-3x+9/4+4 (y)^(2)+2x+1/4=5 / 2 $
$ (x-3 / 2 )^(2)+(2y+1 / 2 )^(2)=5 / 2 $
togliendo il 2 davanti a y e dividendo per 5/2 ottieni
$ (x-3 / 2 )^(2) / (5 / 2 )+ (y+1 / 4) ^(2) / (5 / 8)=1 $
ovvero un'ellisse
la parametrizzazione a questo punto dovrebbe venir da sè

$ (x0+acos t,y0+bsin t,3acos t+2bsin t) $
$ (3 / 2+ sqrt(5 / 2 ) cos t,-1 / 4+ sqrt(5 / 8 ) sin t,3 (3 / 2+ sqrt(5 / 2 ) cos t)+2 (-1 / 4+ sqrt(5 / 8 ) sin t)) $

il secondo sistema l'ho risolto in modo analogo.

Anda1
solo una cosa non capisco:

non dovrebbe essere ad esempio per x: $ 3/2+sqrt(5/2)*cost $ ?

Anda1
no allora ok,il problema è solo di visualizzazione :)

il $5/2$ è tutto sotto radice vero?

alessandrobad
Si credo sia solo un problema di visualizzazione, io vedo scritto proprio quello che hai scritto tu!

alessandrobad
Ehi forse ho risolto anche il sistema

$ yz+x=1 $
$ xz-x=1 $

sommo le due equazioni ottenendo $ ((yz) / 2)+((xz) / 2)=1 $

dunque impongo (questo è il passaggio che mi sembra un pò forzato e non sono sicuro sia corretto farlo)

$ yz=2(cos t)^(2) $
$ xz=2(sin t)^(2) $

dunque

$ y=2(cos t)^(2) / z $
$ x=2(sin t)^(2) / z $

quindi da $ xz-x=1 $ ottengo

$ 2(sin t)^(2)-2(sin t)^(2) / z =1 $
$ z=2(sin t)^(2) / (2(sin t)^(2)-1) $

da ciò

$ y=(cot t)^(2) (2(sin t)^(2)-1) $
$ x=2(sin t)^(2)-1 $

Mi pare che la parametrizzazione per t
($ 2(sin t)^(2)-1 $,$ (cot t)^(2) (2(sin t)^(2)-1) $,$2(sin t)^(2) / (2(sin t)^(2)-1) $)
funzioni comunque attendo il parere di qualche esperto!

Anda1
quella l'ho risolta in un altro modo, se consulti la pagina del corso dovrebbero esserci le soluzioni

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