Diagonalizzazione ortogonale
Sia f l'endomorfismo di R^3 rappresentato nel riferimento R = ((1,1,1),(0,1,1),(0,1,0)) dalla seguente matrice :
A= $ ( ( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 2 ,1 ),( -1 , 0 , 1) ) $
Studiare diagonalizzabilità e diagonalizzazione ortogonale.
Ciao ragà. l'esercizio l'ho svolto! f è diagonalizzabile ma non ortogonalmente diagonalizzabile dato che A non è simmetrica; e se A non è simmetrica di conseguenza neanche f lo è, quindi ciò implica che f non è ortog. diagonalizz.
La mia domanda si riferisce al riferimento R. Perchè me lo dà? A che mi serve?
Grazie in anticipo... vi aspetto!!!!
A= $ ( ( 0 , 1 , -1 ),( 1 , 2 ,1 ),( -1 , 0 , 1) ) $
Studiare diagonalizzabilità e diagonalizzazione ortogonale.
Ciao ragà. l'esercizio l'ho svolto! f è diagonalizzabile ma non ortogonalmente diagonalizzabile dato che A non è simmetrica; e se A non è simmetrica di conseguenza neanche f lo è, quindi ciò implica che f non è ortog. diagonalizz.
La mia domanda si riferisce al riferimento R. Perchè me lo dà? A che mi serve?
Grazie in anticipo... vi aspetto!!!!
Risposte
Serve per definirti l'endomorfismo $f$. La matrice $A$ è la matrice associata ad $f$ rispetto a quel particolare riferimento.
Sai cosa vuol dire?
Sapresti trovare la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$?
Sai cosa vuol dire?
Sapresti trovare la matrice associata ad $f$ rispetto alla base canonica di $RR^3$?
certo.. sò cos'è la matrice associata!
quindi mi dovrei trovare f attraverso la matrice associata?????
quindi mi dovrei trovare f attraverso la matrice associata?????
Ciao, scusa il ritardo nella risposta.
Come ben sai, per definire un'applicazione fra spazi vettoriali di dimensione finita non basta assegnare una matrice, perchè bisogna specificare le basi rispetto alle quali è determinata la matrice.
Comunque devo darti ragione su quanto dici. Se ci fosse una qualsiasi altra base, il risultato non cambierebbe.
Come ben sai, per definire un'applicazione fra spazi vettoriali di dimensione finita non basta assegnare una matrice, perchè bisogna specificare le basi rispetto alle quali è determinata la matrice.
Comunque devo darti ragione su quanto dici. Se ci fosse una qualsiasi altra base, il risultato non cambierebbe.
"tex89a":
f è diagonalizzabile ma non ortogonalmente diagonalizzabile dato che A non è simmetrica; e se A non è simmetrica di conseguenza neanche f lo è, quindi ciò implica che f non è ortog. diagonalizz.
La simmetria e condizione solo sufficiente per la diagonalizzabilita ortogonale. In generale le matrici normali (i.e. $A A^t=A^tA$) sono tutte e sole quelle ortogonalmente diaognalizzabili.
EDIT: quanto su scritto è SBAGLIATO, ma proprio tanto, vedere i post seguenti di paolo90 e cirasa per lumi
"alvinlee88":
La simmetria e condizione solo sufficiente per la diagonalizzabilita ortogonale. In generale le matrici normali (i.e. $A A^t=A^tA$) sono tutte e sole quelle ortogonalmente diaognalizzabili.
Quanto affermi vale in campo complesso; in campo reale, però, la simmetria è condizione necessaria e sufficiente per la diagonalizzabilità ortogonale (è un pezzo del teorema spettrale).
P.S. alvin, immagino che tu sappia benissimo (e molto meglio di me) queste cose, tranquillo
Il mio intervento è rivolto più che altro a tex89a, per evitare di confondergli/le le idee.
Scusami alvinlee, forse mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.
Sia [tex]A[/tex] una matrice quadrata reale di ordine [tex]n[/tex].
Ma se [tex]A[/tex] è ortogonalmente diagonalizzabile significa che esiste una base ortogonale (anzi no, a meno di moltiplicare i vettori della base per qualche scalare, posso prendere una base ortonormale) tale che, rispetto a tale base [tex]x\in\mathbb{R}^n\mapsto Ax[/tex], ha matrice associata diagonale [tex]D[/tex].
In altre parole [tex]A=QDQ^{-1}[/tex], con [tex]QQ^t=I[/tex].
Ma questo non implica che [tex]A[/tex] è simmetrica?
Perchè dici che la simmetria è condizione solo sufficiente per la diagonalizzabilità ortogonale?
P.S. Meno male che c'è il buon Paolo (
non avevo visto il tuo intervento!) che mi ricorda che nel caso complesso c'è qualche differenza 
Mannaggia, la memoria inizia ad abbandonarmi!
Sia [tex]A[/tex] una matrice quadrata reale di ordine [tex]n[/tex].
Ma se [tex]A[/tex] è ortogonalmente diagonalizzabile significa che esiste una base ortogonale (anzi no, a meno di moltiplicare i vettori della base per qualche scalare, posso prendere una base ortonormale) tale che, rispetto a tale base [tex]x\in\mathbb{R}^n\mapsto Ax[/tex], ha matrice associata diagonale [tex]D[/tex].
In altre parole [tex]A=QDQ^{-1}[/tex], con [tex]QQ^t=I[/tex].
Ma questo non implica che [tex]A[/tex] è simmetrica?
Perchè dici che la simmetria è condizione solo sufficiente per la diagonalizzabilità ortogonale?
P.S. Meno male che c'è il buon Paolo (
non avevo visto il tuo intervento!) che mi ricorda che nel caso complesso c'è qualche differenza Mannaggia, la memoria inizia ad abbandonarmi!
"cirasa":
P.S. Meno male che c'è il buon Paolo (
E' sempre un piacere, capo E stai tranquillo, a volte possono capitare amnesie temporanee
"cirasa":
..
Ma questo non implica che [tex]A[/tex] è simmetrica?
Perchè dici che la simmetria è condizione solo sufficiente per la diagonalizzabilità ortogonale?
cavolo si avete ragione bella figura...
così imparo a scrivere senza pensarci troppo. thanks to paolo e cirasa per le segnalazioni, edito il post..
E si ragazzi ma quanto dite non si applica nel nostro caso. Infatti l'endomorfismo di tex non è assegnato rispetto ad una base ortonormale. Per fare il discorso che dite, bisogna prima calcolare la matrice associata al detto endomorfismo rispetto ad una base ortonormale, e poi vedere se questa è simmetrica o no.
A questo punto, mi sa che tanto vale calcolare direttamente gli autospazi e vedere se sono ortogonali.
A questo punto, mi sa che tanto vale calcolare direttamente gli autospazi e vedere se sono ortogonali.
ciao ragazzi!!! davvero carini a scervellarvi x un mio problemino!
cmq...alla fine dei conti la diagnalizzabilità ortogonale esiste se è esiste un riferimento ORTONORMALE...nel mio caso quindi dato che R non è canonico e quindi ortonormale devo semplicemente calcolarmelo giusto?????? Attraverso i versori... ma il mio punto debole stà sempre là: nell'applicazione lineare che devo crearmi!!!
uffi....GRAZIE.....
cmq...alla fine dei conti la diagnalizzabilità ortogonale esiste se è esiste un riferimento ORTONORMALE...nel mio caso quindi dato che R non è canonico e quindi ortonormale devo semplicemente calcolarmelo giusto?????? Attraverso i versori... ma il mio punto debole stà sempre là: nell'applicazione lineare che devo crearmi!!!
uffi....GRAZIE.....
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