Esercizio geometria euclidea
Salve a tutti vorrei proporvi un esercizio di geometria euclidea, magari banale ma che in questi giorni mi sta dilaniando il cervello.
Allora l'esercizio mi chiede trovare equazioni cartesiane e parametriche dei piani che distano $2sqrt3$ dal punto $P=(2,1,4)$ contenenti la retta di equazioni $X+Y=2, 2X+Z=1$. La prima cosa che mi è venuta in mente è il fascio di piani con sostegno la retta di cui ho l'equazione. Ma come associarlo alla distanza per ottenere i piani proprio non ci arrivo. Mi scuso per il disturbo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Allora l'esercizio mi chiede trovare equazioni cartesiane e parametriche dei piani che distano $2sqrt3$ dal punto $P=(2,1,4)$ contenenti la retta di equazioni $X+Y=2, 2X+Z=1$. La prima cosa che mi è venuta in mente è il fascio di piani con sostegno la retta di cui ho l'equazione. Ma come associarlo alla distanza per ottenere i piani proprio non ci arrivo. Mi scuso per il disturbo e vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!
Risposte
Distanza punto-piano, in cui il punto è $P$ ed il piano è il generico piano del fascio di asse $r$. 
La formula distanza punto piano che ho trovato sul mio libro è: $ d(P,\pi)=| ((ax+by+cz-d)/ sqrt(a^(2)+b^(2)+c^(2)))|$ dove $(x,y,z)$sono le coordinate di p e $\pi$ è il piano.
La mia equazione del fascio è $\lambda(X+Y-2)+\mu(2X+Z-1)$, poi facendo le opportune sostituzioni ho ottenuto $2sqrt(3)=|(2(\lambda+2\mu)+\lambda+4\mu+2\lambda+\mu)/(sqrt((\lambda+2\mu)^(2)+\lambda^(2)+(4\mu)^(2)))|$.
Come continuo?
La mia equazione del fascio è $\lambda(X+Y-2)+\mu(2X+Z-1)$, poi facendo le opportune sostituzioni ho ottenuto $2sqrt(3)=|(2(\lambda+2\mu)+\lambda+4\mu+2\lambda+\mu)/(sqrt((\lambda+2\mu)^(2)+\lambda^(2)+(4\mu)^(2)))|$.
Come continuo?
Come facevano i vecchi antichi: fai i conti.
Ho svolto i calcoli come da lei detto e se non ho errato,ho ottenuto questa equazione:
$\lambda^(2)-159\mu^(2)+42\lambdamu=0$
Gentilmente mi può dire come continuare?
$\lambda^(2)-159\mu^(2)+42\lambdamu=0$
Gentilmente mi può dire come continuare?
Controlla i calcoli precedenti, perché vedo un $4mu$ al denominatore e dei segni al numeratore che mi sembrano fuori posto.
Poi, è ovvio che da una equazione con due incognite non puoi sperare di ricavare tutto (a meno di casi particolarissimi); quindi fissa il valore di uno dei due parametri e determina l’altro.
Poi, è ovvio che da una equazione con due incognite non puoi sperare di ricavare tutto (a meno di casi particolarissimi); quindi fissa il valore di uno dei due parametri e determina l’altro.
Grazie mille Gugo82! Prima di tutto mi scuso per aver risposto dopo tanto tempo ma ho visto la tua risposta soltanto ieri dato che non me ne sono accorta! 
. Ho rifatto i calcoli con calma e grazie ai tuoi suggerimenti e correzioni mi trovo con i risultati del libro. Ti ringazio di nuovo e buona giornata!
. Ho rifatto i calcoli con calma e grazie ai tuoi suggerimenti e correzioni mi trovo con i risultati del libro. Ti ringazio di nuovo e buona giornata!
Prego, figurati.
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