Isomorfismo: spazio delle funzioni e delle matrici simmetriche
Salve!
Ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio,svolto in sede di esame,che recita:
Sia $ V $ lo spazio delle funzioni reali a una variabile reale.
Sia $ U $ lo spazio generato da $ 1,x,senx $
A) Determinare una base per $ U $.
B) Determinare se $ U $ è isomorfo o meno ad $ S $ e giustificare la risposta.
$ S $ è il sottospazio delle matrici simmetriche di $ M_2(R) $
A) Ho provato anzitutto a fare qualche considerazione:
se diciamo $ n $ il numero finito e naturale di funzioni "elementari",allora $ V $ dovrebbe essere isomorfo ad $ R^n $.
Qui mi sorge un dubbio,è possibile fare questa considerazione?Si può dire che sono finite?
Il testo mi lasciava il dubbio che per $ V $si intendesse lo spazio delle funzioni $ 1,x,senx $ e non tutte quelle possibili: in quel caso $ U $ e $ V $ non coinciderebbero? E comunque,visto che posso ordinarle arbitrariamente,non si giungerebbe comunque allo stesso risultato?
Fatto sta che considerando il caso n-finito ho considerato l'isomorfismo con $ R^n $ e quindi una base per $ U $ sarebbe composta da 3 elementi della base canonica di $ R^n $ . Fissato l'ordinamento $ 1,x,senx $ allora:
$ e_1prime=(1,0,0,.,...)$ vettore di n elementi
$ e_2prime=(0,1,0,.,.,.)$ vettore di n elementi
$ e_3prime=(0,0,1,.,.,.)$ vettore di n elementi
E quindi ho concluso che: $ U~= R^3 $
E' giusto? E in ogni caso,qual è il modo giusto di definire l'endomorfismo?
Qui ho considerato che avendo stessa base sono perfettamente coincidenti.
Equivalente proprio a :
$ e_1=(1,0,0,.,...) $
$ e_2=(0,x,0,.,.,.) $
$e_3=(0,0,senx,.,.,.) $
$ B_u={e_1,e_2,e_3} $
B)Il sottospazio $ Ssube M_2(R)= {A in M_2(R) : A^t=A) $
Quindi:
$ | ( a , b ),( c , d ) | = | ( a , c),( b , d ) | $
da cui ricavo b=c e quindi la base sarà:
$ B_S={( ( 1 ,0 ),( 0 , 0 ) ) , ( ( 0 ,0 ),( 0 , 1 ) ) ,( ( 0 ,1 ),( 1 , 0 ) ) } $
E so che $ M_2(R) $ è isomorfo naturalmente a $ R^4 $ e posso scrivere:
$ B_Sprime={(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,1,0)}= {e1,e4,(e2+e3)} $
Intuitivamente direi che i due spazi non sono isomorfi per questo motivo:
$ U~= R^3 $ mentre $ S~= R^4 $.
Qualcuno può dirmi se il ragionamento è corretto?
Non sono molto preparato sugli isomorfisimi,quindi potreste anche corregermi per eventuali strafalcioni "teorici"?
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio,svolto in sede di esame,che recita:
Sia $ V $ lo spazio delle funzioni reali a una variabile reale.
Sia $ U $ lo spazio generato da $ 1,x,senx $
A) Determinare una base per $ U $.
B) Determinare se $ U $ è isomorfo o meno ad $ S $ e giustificare la risposta.
$ S $ è il sottospazio delle matrici simmetriche di $ M_2(R) $
A) Ho provato anzitutto a fare qualche considerazione:
se diciamo $ n $ il numero finito e naturale di funzioni "elementari",allora $ V $ dovrebbe essere isomorfo ad $ R^n $.
Qui mi sorge un dubbio,è possibile fare questa considerazione?Si può dire che sono finite?
Il testo mi lasciava il dubbio che per $ V $si intendesse lo spazio delle funzioni $ 1,x,senx $ e non tutte quelle possibili: in quel caso $ U $ e $ V $ non coinciderebbero? E comunque,visto che posso ordinarle arbitrariamente,non si giungerebbe comunque allo stesso risultato?
Fatto sta che considerando il caso n-finito ho considerato l'isomorfismo con $ R^n $ e quindi una base per $ U $ sarebbe composta da 3 elementi della base canonica di $ R^n $ . Fissato l'ordinamento $ 1,x,senx $ allora:
$ e_1prime=(1,0,0,.,...)$ vettore di n elementi
$ e_2prime=(0,1,0,.,.,.)$ vettore di n elementi
$ e_3prime=(0,0,1,.,.,.)$ vettore di n elementi
E quindi ho concluso che: $ U~= R^3 $
E' giusto? E in ogni caso,qual è il modo giusto di definire l'endomorfismo?
Qui ho considerato che avendo stessa base sono perfettamente coincidenti.
Equivalente proprio a :
$ e_1=(1,0,0,.,...) $
$ e_2=(0,x,0,.,.,.) $
$e_3=(0,0,senx,.,.,.) $
$ B_u={e_1,e_2,e_3} $
B)Il sottospazio $ Ssube M_2(R)= {A in M_2(R) : A^t=A) $
Quindi:
$ | ( a , b ),( c , d ) | = | ( a , c),( b , d ) | $
da cui ricavo b=c e quindi la base sarà:
$ B_S={( ( 1 ,0 ),( 0 , 0 ) ) , ( ( 0 ,0 ),( 0 , 1 ) ) ,( ( 0 ,1 ),( 1 , 0 ) ) } $
E so che $ M_2(R) $ è isomorfo naturalmente a $ R^4 $ e posso scrivere:
$ B_Sprime={(1,0,0,0),(0,0,0,1),(0,1,1,0)}= {e1,e4,(e2+e3)} $
Intuitivamente direi che i due spazi non sono isomorfi per questo motivo:
$ U~= R^3 $ mentre $ S~= R^4 $.
Qualcuno può dirmi se il ragionamento è corretto?
Non sono molto preparato sugli isomorfisimi,quindi potreste anche corregermi per eventuali strafalcioni "teorici"?
Vi ringrazio anticipatamente per l'aiuto!
Risposte
Grazie mille,mi è molto più chiaro,anzi,scusate la confusione!
Avrei ancora un paio di domande per togliermi qualche dubbio:
-La considerazione su un possibile isomorfismo tra uno "spazio n-dimensionale di funzioni reali di variabile reale" ed $ R_n $ è del tutto errato? E giusto una curiosità:tale spazio è finito?
-Quando dici: "a un vettore di coordinate corrispondono uno e un solo elemento di R3, uno e un solo elemento di U; quindi a ciascun elemento di R3 corrisponde uno e un solo elemento di U, e viceversa" significa fondamentalmente che esiste una applicazione lineare biettiva tra i due spazi?
E basta il fatto che due spazi qualsiasi abbiano stessa dimensione per dire che sono isomorfi?
Di nuovo grazie!
Avrei ancora un paio di domande per togliermi qualche dubbio:
-La considerazione su un possibile isomorfismo tra uno "spazio n-dimensionale di funzioni reali di variabile reale" ed $ R_n $ è del tutto errato? E giusto una curiosità:tale spazio è finito?
-Quando dici: "a un vettore di coordinate corrispondono uno e un solo elemento di R3, uno e un solo elemento di U; quindi a ciascun elemento di R3 corrisponde uno e un solo elemento di U, e viceversa" significa fondamentalmente che esiste una applicazione lineare biettiva tra i due spazi?
E basta il fatto che due spazi qualsiasi abbiano stessa dimensione per dire che sono isomorfi?
Di nuovo grazie!
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