Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti!
studiando per l'esame di geometria mi sono imbattuta in questa dimostrazione teorica e non ho capito bene come impostarla... il testo recita:
siano L e T due operatori lineari dello spazio in n dimensioni (R^n) e supponiamo che sia L che T abbiano n autovalori distinti. Dimostrare che L°T=T°L se e solo se L e T hanno gli stessi autovettori.
Io ho pensato che siccome autovettori corrispondenti ad autovalori distinti sono linearmente indipendenti, e siccome gli autovettori ...
ciao a tutti!
è la prima volta che scrivo sul forum e non sono riuscita ad usare il programma per scrivere le matrici, ma vedrò di spiegarmi lo stesso, vediamo se ci riesco! Ho trovato un esercizio che chiede di calcolare il determinante di una matrice tridiagonale di ordine n che ha la variabile reale b nella diagonale principale, -b^2 nella diagonale secondaria inferiore e 2 nella diagonale secondaria superiore; ossia
aij=b se i=j
aij=-(b^2) se j=i+1
aij=2 se se i=j+1
(dove i è la ...
salve a tutti, vorrei un parere motivato: secondo voi, volendo dimostrare che due matrici simili hanno la stessa traccia, è giusto partire dal fatto che due matrici simili hanno gli stessi autovalori? Sappiamo che $ <λ è AUTOVALORE DI A > hArr <DET (A-λI)=0 > $ e facendo A-λI i λ saranno lungo la diagonale principale. Per cui date due matrici A e B, esse sono simili in primis se hanno gli stessi autovalori, ma avendo gli stessi autovalori avranno anche la stessa traccia visto che essa è la somma dei λ autovalori lungo ...
Salve a tutti ho questo esercizio: $\phi: RR^3->RR^3$ per cui:
$\phi(1,0,0)=(1,2,1)$; $\phi(1,1,0)=(0,3,3)$; $\phi(1,1,1)=(-2,2,4)$.
Mi si chiede di determinare il nucleo delle applicazioni.
La definizione di nucleo è $Ker\phi={v in RR^3 : \phi(v)=0}$.
Non riesco a capire come sono calcolate le applicazioni perchè una base di $RR^3$ sarebbe la base $B={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}$.
Come mi calcolo la matrice associata all'applicazione? Sareste cosi gentili da illuminarmi?
Nel mio testo sta scritto che dato un endomorfismo diagonalizzabile [tex]f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n[/tex], lo spazio [tex]\mathbb{R}^n[/tex] è somma diretta dei suoi autospazi, ovvero [tex]\mathbb{R}^n = \bigoplus_{i=1}^r E_{\lambda_{i}}(f)[/tex], dove [tex]E_{\lambda_{i}}(f)[/tex] è ovviamente l'autospazio associato all'autovalore [tex]\lambda_{i}[/tex]
Dato che sul mio libro questa cosa non viene giustificata, la volevo dimostrare io per capirla meglio.
Io avevo pensato:
Sia ...
Qualcuno saprebbe consiliarmi un libro di algebra lineare corredato da esercizi,chiaro ed esaustivo?
Salve a tutti, mi ritrovo a risolvere questo sistema al variare di h e k, su cui ho qualche dubbio:
$\{(kx+y-z=h),(x+y+z=0),(y-z=1):}$
mi sono calcolato il determinante della matrice incompleta
det(A) = $|(k,1,-1),(1,1,1),(0,1,-1)|$ = -2k
quindi $det(A)!=0$ per $k!=0$
Calcolo i ranghi della matrice incompleta e completa:
|A| = $|(0,1,-1),(1,1,1),(0,1,-1)|$ rango 2 , |B| = $|(0,1,-1,h),(1,1,1,0),(0,1,-1,1)|$ rango 3
ne deduco che i sistemi sono incompatibili.
Uso Cramer e mi viene la terna di ...
Non riesco a risolvere il seguente quesito:
Sia $phi$ il prodotto scalare canonico su $RR^3$ e $W$ il sottospazio di $RR^3$ di equazioni $W:{ ( x-2y+z=0 ),( 2x-z=0 ):} $
Determinare:
una base di $W$ ortonormale rispetto a $phi$
una rappresentazione cartesiana del complemento ortogonale di $W$
una base di $RR^3$ ortonormale rispetto a $phi$ che contenga un vettore di ...
Ciao a tutti. Ho questo esercizio. In M2(R) dato
$ A = ((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3)), ((1, 2),(-8,2)) $
determinare $ L(A) $ (copertura lineare) e $ dimL(A) $
la soluzione dice: Il sistema A è legato, infatti $ ((1, 2),(-8,2)) $ dipende linearmente dagli altri elementi, pertanto
$ L(A) = L( $$((1, 2),(1,-2) ), ((1, 1),(3,-1)), ((2, 1),(-1,3))$$) $
e
$ dimL(A) = 3 $
Dalla teoria so che un vettore dipende linearmente dagli altri se è esprimibile come combinazione lineare degli altri.
Ma come faccio a determinarlo? E ...
Ciao a tutti!
devo determinare la compatibilità di un sistema
3x +y + (4+)z =2
-2x + y - z =-3
2x + 2y + 4z=a
Le risposte sono : sist compatibile per qualsiasi A; la soluzione è unica per a diverso da 0 ed è
x=a/6 + 11/6
y=a/3 - 1/6
z=-5/6
Il sist ha un'infinità di soluzioni per a=0 e sono:
x= 1-t
y=-1-t
z=t
Ma risolvendolo io mi viene:
$ | ( 3 , 1 , 4+a ) ,( 0 , 3 , 3 ),( 0 , 0 , 9+3a ) | $ con colonna soluzioni: (2, a-3, 4a+9)
quindi compatibile per a diverso da -3 e incompatibile per a =-3
Ciao a tutti.
Devo determinare una base di questo sottospazio:
$ (a+b,a-b,2a+b,a-2b) $
ma non ho capito come procedere. so che una base è una sequenza libera di generatori.
e so che $ AsubeV $ è un insieme di generatori se $ L(A)=V $
ma come lo applico in pratica?
grazie
La traccia è la seguente:
Fissato nello spazio un riferimento cartesiano Oxyz, scrivere l'equazione del piano α per il punto A(1,0,-1), parallelo alla retta r di equazioni (x=t , y=2t , z=-t+1) e perpendicolare al piano π: x-y-z=0
Ho cominciato con l'equazione di un piano generico passante per il punto A:
a(x-x₀) + b(y-y₀) + c(z-z₀)=0
Da cui, in questo caso, si ottiene:
a(x-1) + b(y-0) + c(z+1)=0
Risolvendo:
ax-a+by+cz+c=0 => α: ax+by+cz=a-c
Otteniamo così l'equazione ...
Non riesco a completare questo quesito:
Si determini una matrice D tale che $p_D(gamma)=gamma^4 -10gamma^3 +35gamma^2 -50gamma +24$
ho scomposto il polinomio caratteristico e trovato così le sue radici che corrispondono agli autovalori della matrice D:
$gamma^4 -10gamma^3 +35gamma^2 -50gamma +24$ equivale a $(1-gamma)(2-gamma)(4-gamma)(3-gamma)$
quindi gli autovalori sono $gamma=1, gamma=2, gamma=4, gamma=3$
Sò che il coefficiente del termine di secondo grado del polinomio caratteristico è uguale alla traccia della matrice e che il termine noto è uguale al determinante della matrice. ...
Salve a tutti. Ho pensato di risolvere questo esercizio in questo modo, però non sono sicuro come l'ho fatto.
Provare che $X$ è connesso:
$X= {(x,y,z)\in RR^3: x^2+2y^2=3, z^2=(arctan(xy-1))^2}$
Allora pensavo di ragionarci in questo modo: In anzi tutto dividere in varie "parti" l'insieme X.
$X_1= {(x,y,z)\in RR^3: x^2+2y^2=3 }$
$X_2= {(x,y,z)\in RR^3;z=(arctan(xy-1)) }$
$X_3= {(x,y,z)\in RR^3;z=-(arctan(xy-1)) }$
Quindi $X = X_1 nn (X_2 uu X_3) = (X_1 nn X_2)uu (X_1 nn X_3)$
Costruisco questi applicazioni:
$f:RR^3rightarrow RR$ , definita da $f(x,y,z)=x^2+2y^2-3$. E' continua. Sia $Gamma_f$ il ...
Fissato nello spazio un riferimento metrico $Oxyz$ siano assegnati il punto $P(1,-2,-1)$ e la retta $r: { x - y - 1 = 0 , x+z-2=0<br />
<br />
Si determinino le equazioni della retta $s$ passante per $P$ e parallela a $r$<br />
<br />
Allora, io ho trovato i parametri direttori di $r$ e cioè $(1,1,1)$<br />
ho dedotto che essendo le due rette parallele, i parametri direttori di $s$ cioè $(l,m,n)$ saranno proporzionali a quelli di $r$ e allora $ l = m = n $<br />
<br />
ho imposto l'appartenenza di $P$ a $s$ e ho ottenuto<br />
<br />
$l(x+y+z+2) = 0
ecco, a questo punto vorrei capire, quella che ho appena trovato è l'equazione di un piano contenente ...
Ciao sto studiando Algebra lineare e sto facendo gli esercizi dell'Herstein (numero 9,10 pag 217, il capitolo Spazi con prodotto scalare) e non so come trovare una base di
$V={y=f(x): (d^2y) / dx^2 + 9y=0}$
Non mi è chiaro se devo risolvere l'equazione differenziale o cos'altro fare...
L'esercizio in realtà è più lungo, e chiede di dimostrare che V è uno spazio vettoriale e di trovare una sua base ortonormale (definito il prodotto scalare).
Io lo farei trovando una base e poi usando Gram-Schmidt.
E ...
Salve a tutti ragazzi, ho da poco concluso un esercizio e adesso se ne presenta un altro:
Discutere
$\{((h+1)x + y + z=1),(hx+z=2),(x+(h-1)y+z=0):}<br />
<br />
al variare di h.<br />
<br />
Calcolo il determinante della matrice incompleta<br />
$|((h+1),1,1),(h,0,1),(1,(h-1),1)|$
che mi risulta uguale a h-1, quindi il determinante della matrice incompleta sarà zero per h=1
calcolo il rango della matrice incompleta per h=1 e mi risulta che il rango è due (due righe sono uguali, quindi cerco una matrice di ordine minore con determinante diverso da 0), poi calcolo il rango della matrice completa e mi risulta 3. Ne ...
Ragazzi ho dei grandissimi problemi a riddurre una conica in forma canonica.. Allora consideriamo ad esempio la conica C di equazione:
$ x^2 + y^2 + 2xy + 2y + 1 = 0 $
Allora prima di tutto mi calcolo gli inviarianti e vedo di che conica si tratta, in questo caso abbiamo una parabola. Poi mi sono calcolato gli autovalori, gli autovettori e dopo averli normalizzati ottengo la seguente matrice:
$ C= | ( sqrt2/2 , sqrt2/2 ),( -sqrt2/2 , sqrt2/2 ) | $
Quindi ho: $ {(x = sqrt2/2 x' + sqrt2/2 y'),(y = -sqrt2/2 x' + sqrt2/2 y' ):} $
A questo punto se voglio trovarmi l'equazione ...
salve, cerco aiuto per svolgere l'ultimo punto di questo esercizio in quanto il materiale didattico in mio possesso è poco chiaro sul calcolo dei vettori isotropi:
sia $phi: RR^3 x RR^3 rarr RR^3$ la forma bilineare definita nel modo seguente:
$phi((x,y,z);(x',y',z'))= xy'+x'y+zz'$
-determinare la matrice Gram G canonicamente associata a $phi$ e una matrice diagonale congruente a G
-stabilire se $phi$ ammette vettori isotropi. In caso affermativo, esibirne uno.
allora la matrice Gram ...
Dati i riferimenti:
$ R=(1,0,1), (0,2,1),(0,0,1) $ e
$ R^1(0,-1,1),(0,1,1),(1,2,0) $ di R^3
Determinare Q di cambiamento di riferimento da R a R^1 e quella P da R^1 a R
punto primo dobbiamo trovare le immagini del riferimento R con coordinate in R^1, cioè:
(1,0,1)=x(0,-1,1)+y(0,1,1)+z(1,2,0)
(0,2,1)=x(0,-1,1)+y(0,1,1)+z(1,2,0)
(0,0,1)=x(0,-1,1)+y(0,1,1)+z(1,2,0)
Ho preso spunto da qui:
http://www.xelon.it/appunti/algebra-lineare/node18.html
Nel mio caso, come devo eseguire?
Grazie anticipatamente
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